ERNST KASIRER – Predmet matematike, prvi deo (Formalističko i intuicionistitko zasnivanje matematike / Izgradnja teorije skupova i „kriza osnova“ matematike)


PREDMET MATEMATIKE

220px-Cassirer

I Formalističko i intuicionistitko zasnivanje matematike

Pre nego što pristupimo razmatranju suprotnosti između „for­malizma“ i „intuicionizma“ u njenom sadašnjem, metodski zao­štrenom vidu, osvrnućemo se na njene istorijske pretpostavke i pripreme. Pri tom osvrtu se ne rukovodimo samo istorijskim, nego i sistematskim interesom. Izgleda da bi se izbegli neki nespo­razumi između zaraćenih pravaca, i da bi se suština te suprotnosti mogla jasnije istaći, kad bi oba tabora bila svesna toga da problem o kome je ovde reč ima dugu predistoriju u logici i u filozofiji. Već se kod Aristotela može naći napomena koja ukazuje na to da on suštinu geometrijske definicije ne vidi samo u objašnjenju pojma nego u takvom objašnjenju koje sadrži teoremu egzistencije i dokaz egzistencije. Značenje reći „trougao“ geometar pretpostavlja, ali on dokazuje da je to trougao. 1 inače je pojam geometrijske „kons­trukcije“, u onoj formulaciji koju mu daje antička filozofska i matematička teorija, najtešnje povezan sa problemom dokaza egzistencije. I „renesansa“ matematičkog načina mišljenja, do koje dolazi u 16. i 17. veku, opet počinje baš na toj tački. Tu u istom pravcu dejstvuju Spinoza i Hobs, Čirnhaus i Lajbnic: za sve njih problem genetičke ili, kako to oni nazivaju, „kauzalne“ definicije dobij a sistematsko-filozofski značaj, koji daleko prevazilazi oblast matematike. Svojom metodskom jasnoćom i majstorstvom Lajbnic ujedinjuje sva ta nastojanja i određuje im mesto u ukupnoj strukuri logike. Spor između „nominalizma“ i „realizma“, koji je dominirao celom srednjovekovnom logikom, sad dobija nov oblik: taktf i, biva spašen iz pustinje spekulacije i prenet u konkretni rad egzaktne nauke. Hobs je pokušao da dokaže kako je istina osnovnih matematičkih pojmova kao i njihova opštost samo verbalna istina i opštost. Po njemu, ona se ne zasniva u samoj stvari nego u reči; počiva samo na dogovoru o jezičkim znacima. Nasuprot ovom shvatanju, Lajbnic je izneo ideju da je sam znak, ukoliko je znak pun značenja, vezan za određene objektivne uslove. Simboli i karakteri matematike ne mogu se tek-tako obrazovati niti po subjektivnoj volji međusobno spajati, nego podležu određenim normama spojivosti koje im nužnosti stvari propisuju. Tu „stvar“, prema kojoj se stalno moraju orijentisati i čiju unutrašnju istinu žele da izraze, ne treba, naravno, zamišljati u vidu neke empirijske „stvari“, nego u vidu postojanja određenih odnosa koji vladaju među čistim idejama. Svekoliko formiranje matematičkih pojmova i svekoliko matematičko davanje znakova u njima nalazi oslonac i unutrašnju meru. Spajanje tih karaktera mora odgovarati objek­tivnim relacijama ideja. „Ars sharacteristica est ars ita formandi atque ordinandi characteres, ut referant cogitationes, seu ut earn inter se habeant relationem, quam cogitationes inter se habeant. Expressio est aggregatum characterum rem quae exprimitur re-praesentantium. Lex expressionum haec est: ut ex quarum rerum ideis componitur rei exprimendae idea, ex illarum rerum characte-ribus componatur rei expressio.“ Time je odnos između matema­tičke „formule“ i stanja stvari na koje se ona odnosi nedvosmisleno utvrđen. Formula dobija signifikativnu funkciju tek posredstvom svoje intencije ka tom stanju stvari; s druge strane, ona treba da bude takva da obuhvata sve bitne crte tog stanja stvari i da ih sadrži u jednom pregantnom i egzaktnom izrazu.

Prema tome, za Lajbnica izgrađivanje sveta matematičkih znakova, stvaranje pojedinačnih karaktera i njihovo povezivanje, od početka podleže jednom određenom ograničavajućem uslovu: mora se proveriti „mogućnost“ predmeta spajanja. Ne daje svako spajanje elemenata mišljenja i znakova, dovedenih u vezu s njima, neki moguć objekt mišljenja. Među sadržajima mišljenja postoje takvi koji se, ako pokušamo da ih sintetički sjedinimo, u toj sintezi uzajamno bliže ne određuju i ne determinišu, nego se, umesto toga, uzajamno ukidaju. Stoga, ne odgovara svakoj faktički ostvarivoj kombinaciji znakova jedna „po sebi“ moguća, logički određena i logički zasnovana tvorevina. Naprotiv, ta „osnova“, taj „funda-mentum in re“, mora se posebno ustanoviti i posebno dokazati za svako formiranje pojma. Tako se definicija ne srne uzimati za goto­vu, završenu definiciju, koja predmet na koji se odnosi označava samo navođenjem nekog obeležja ili zbira obeležja. Tu uvek postaj! opasnost da se taj zbir sastoji od takvih komponenata koje se uza­jamno poništavaju. Ta opasnost naročito preti kad uđemo u oblast beskonačne raznovrsnosti. Tada se može dogoditi da nas put formi­ranja pojmova, koja su apsolutno dopustiva i prirodna u oblasti konačnoga, dovede do takvih određenja kakva sadrže protivrečnost u odnosu na strukturni princip te raznovrsnosti. I tako, recimo, ako nam je dat jedan konačan niz međusobno različitih brojeva, mi u njemu možemo stalno navoditi neki „najveći broj“; ali prenesen na beskonačnu celinu brojeva, pojam toga „najvećega“ sadrži jed­nu protivrečnost. Nešto analogno ovome važi za formiranja pojmova kao što su pojmovi „najmanjeg razlomka“ ili „najmanje brzine“. Međutim, Lajbnic se ne zaustavlja kod takvih pojedinačnih primera pojmova čiji se elementi međusobno ne podnose, nego ih koristi za izvođenje jednog opšteg zaključka. Svaki pojam koji pokušava da jedan matematički objekt označi i odredi samo imenovanjem jednog pojedinačnog svojstva, koje mu se pridaje, kreće se klizavom stazom. Puko navođenje takvih karakterističnih obeležja još nam ne jamči to da u sferi sadržaja mišljenja njemu nešto odgovara. Na primer, ako krug definišemo kao ravnu krivu koja, pri datom obimu, obuhvata maksimum sadržaja površine, uvek ostaje otvoreno pitanje: da li, pod pretpostavkom naše geometrije, „postoji“ takva kriva i, ako je tako, da li navedeni uslov može ispuniti samo jedna vrsta krivih. U prvom slučaju, našim objašnjenjem nije određena nikakva geome­trijska tvorevina, a u drugom slučaju, ona nije potpuno i jednoznač­no određena. Sumnju je ovde moguće otkloniti isključivo navođe­njem jednog određenog načina proizvođenja, jednog „modus generandi“ kružne linije i strogo deduktivnim dokazivanjem da je to traženo svojstvo kao nužno sadržano u tom načinu proizvođenja i da je njime postavljeno. Tek sada definicija, koja je ranije imala čisto nominalan karakter, prelazi u pravu „realnu definiciju“ tj. u takvu u kojoj je predmet sazdan od svojih konstitutivnih elemenata. Me­đutim, po Lajbnicu, u tu zaokruženost i u unutrašnju doslednost ovog sklopa ne možemo se uveriti nikako drukčije osim ako za sva­ki, ovde učinjeni korak mišljenja damo odgovarajuću, analognu operaciju u znacima. Ako sa svakom prostom „idejom“ dovedemo u vezu jedan prost znak i ako, zatim, postavimo izvesna opšta pra­vila spajanja tih znakova, tako da bismo latentnu logičku protiv­rečnost otkrivali i obelodanjivali na jednom direktnom čulno zapazivom simptomu. Tako, za nas odnos koji spada u čisto pojmovni svet postaje pojmljiv u slici: mi smo, u neku ruku, prisilili misao da iziđe iz svoje unutrašnje radionice i da nam se neposredno pokaže u svojim spletovima i kompleksima.

Tako se posredstvom teorije matematičke definicije i matema­tičkog predmeta uspostavlja strogo određen, precizan odnos izme­đu „čulnosti“ i „uma“. Te dve oblasti su sasvim jasno međusobno razdvojene: one se ne mogu preplitati niti na bilo kojoj tački preći jedna u drugu. Nijedan matematički sadržaj ne proizlazi kao takav iz čulnosti, jer ovoj nedostaje karakteristično obeležje, konstituti­van princip matematičkog. Da bi mogao važiti za matematički sadržaj, jedan sadržaj mora biti distinktno shvaćen, tj. mora se sastojati od prostih, po sebi izvesnih osnovnih elemenata saznanja isto onako kao što se svaki broj jednoznačno može prikazati kao proizvod prostih brojeva. Čulni doživaljaji nisu podložni takvom potpunom razlaganju; kod njih se moramo stalno zaustavljati kod nekakvih celina koje nisu razložive na svoje konstitutivne momen­te, na svoje određujuće „osnove“, nego ih mi shvatamo još samo „konfuzno“. Iz tog razdvajanja „distinktnog“ i „konfuznog“ sa­znanja neposredno proizlazi činjenica da se za Lajbnica nijedan jedini, uistinu matematički predmet ne zasniva u čulnosti. To važi ne samo za broj, nego isto toliko i za geometrijsku dimenziju. Ni ona nije podatak opažanja, nego je ideja čistog razuma (une idée de l’entendement pur). Ali iako se tako „razum“ proglašava za mesto odakle potiče i izvire sve što je matematičko, ipak je Lajbnic uveren da se ljudsko saznanje može odomaćiti i učvrstiti u regionu „inteligibilnih“ matematičkih predmeta tek ako ne odbije pomoć čulnih znakova. U osnovi svekolikog ljudskog saznanja leže prvo­bitni uvidi čistoga uma: ali ono ne može ovladati tim praintuicijama uma niti ih zadržati za sebe ukoliko ih ne izrazi u slikama, u simbo­lima. Ono što je intuitivno, pri tom uvek ostaje „po suštini“ prvo; s druge strane, ono što je simboličko pokazuje se kao neophodno utoliko što predstavlja to „za nas prvo“. Naš konačni razum jeste i ostaje razum kome su potrebne slike: on bi se neizostavno izgubio u lavirintu zamišljivoga da mu opštom karakteristikom nije data Arijadnina nit. Tako, u čisto logičkom poretku, u poretku „predmeta“, to što je intuitivno uvek predstavlja pravi temelj; ali mi se sami ne možemo vratiti toj bazi ako ne krenemo kroz medijum čulnosti, kroz srednji sloj simboličkoga.

Razume se, ovaj u sebi tako jasan i prost odnos između mate­matičkog „uma“, s jedne strane, i „čulnosti“, s druge strane, postaje teži i složeniji ukoliko pođemo od Lajbnica a ka Kantu. Istina, u jednoj tački Kantovo učenje o matematici javlja se kao direktan i pravolinijski nastavak Lajbnicovog: i u njemu je mogućnost konstruisanja osnovnih matematičkih pojmova nužan uslov njihove is­tinitosti i važenja. Za Kanta još ranije, još u spisima prekritičkog perioda, to gledište postaje centar matematičkog učenja o metodi. Nijedan matematički pojam ne može se dobiti pukom „apstrakcijom“ iz datoga; on stalno uključuje i slobodan akt spajanja, akt „sinteze“. Dokaz „mogućnosti“ te sinteze je nužan ali ujedno i dovoljan uslov za istinitost matematičkog predmeta. „Kupa može inače značiti bilo šta; u matematici ona nastaje iz proizvoljne pred­stave o pravouglom trouglu koji se obrće oko jedne strane. Objašnjenje je tu i u svim drugim slučajevima očito rezultat sinte­ze.“ Tako se, u krajnjoj liniji, sva matematička demonstracija zasniva na konstrukciji. Filozofsko saznanje je umno saznanje iz poj­mova, matematičko je saznanje iz konstrukcije pojmova. Ali dok Kant na momenat konstruktivnog proizvođenja gleda kao na os­novni i prvobitni karakter svakog matematičkog formiranja poj­ma, raščlanjavanje saznanja, koje se kod njega prouzrokuje i obrazlaže tim momentom, ima drukčiji vid nego što je to bio slučaj kod Lajbnica. Rez se sad povlači na drugom jednom mestu u celokupnom sistemu. Za Lajbnica je posredi bilo strogo razdvajanje saznanja čistog uma – po njegovom pravom razlogu od čulnog saznanja, ali ujedno i tesno povezivanje to dvoje u njihovoj upotre­bi posredstvom srednjeg člana „opšte karakteristike“. Pri tom su matematičko mišljenje i logičko mišljenje na istoj strani: ona pri­padaju svetu čistog razuma, onog intellectus ipse. Nasuprot njima stoji svet opažanja, pukih „činjeničkih istina“; ali ta razlika ne može ni na jednoj tački postati suprotnost, istinska oprečnost među njima. Osnovni metafizički princip Lajbnicove filozofije, princip „prestabilirane harmonije“, važi i za odnos između uma i iskustva. Nijedna istina čistoga uma ne može se dobiti iz iskustva, iz posmatranja pojedinačnih čulnih primera; ali svaka važi bez ikakvog ograničenja za iskustvo. Tako, između logike i matematike, s jedne strane, i empirijsko-fizikalnog saznanja, s druge strane, nikad ne može doći do nesuglasica: u strukturi Lajbnicovog sistema problem primenljivosti matematike ne nalazi nigde mesto. A Kant, strože nego ikad ranije, postavlja baš taj problem i kod njega iz tog pro­blema proizlazi konačno obličje njegovog „kritičkog“ učenja. On odbacuje dogmatsku presudu o „prestabiliranoj harmoniji“, pa ostavlja pitanje osnove mogućnosti poklapanja apriornih pojmo-a i empirijskih činjenica. A odgovor na to pitanje dobija zahvalju-ći saznanju da ni empirijski predmet, kao predmet, nije prosto at, nego sadrži moment matematičke konstrukcije. Empirijska edmetnost ostvaruje se samo na osnovu poretka empirijskoga: a m taj poredak moguć je samo zahvaljujući čistom čulnom sagledavanju prostora i vremena. Taj pojam čistog sagledavanja želi da ostane podjednako daleko od Lokovog „senzificiranja“ saznanja i od Lajbnicovog „intelektualizovanja“ saznanja. Sad ono što je matematičko više nema nikakav prosto odvojen logički dignitet, nego se njegov značaj, njegovo ,,quid juris“ potpuno ispoljava tek u tome što ono čini za izgrađivanje empirijskog saznanja. Bez stalnog odnošenja na taj učinak, bez njegovog uzimanja u obzir, učenje o „čistom prostoru“ i o „čistom vremenu“ ne bi značilo ništa više i ništa bolje od „bavljenja pukim priviđenjem“. Kant sada ide tako daleko da izjavljuje kako pojmovi čiste matematike sami za sebe uopšte nisu saznanja, „osim ukoliko se pretpostavi da postoje stva­ri koje mi možemo predstaviti samo shodno formi onog čistog čulnog opažaja“. Istina matematičkih ideja se tako najtešnje povezuje s njihovim empirijskim ispunjenjem, čak se vezuje za to ispunjenje. Time je metodologija konstruktivnog izgrađivanja osvo­jila jednu novu oblast; ona je, tako reći, preneta u sferu samog iskustvenog saznanja. Ali posledica ovoga je ujedno i to da se, u poređenju s Lajbnicovim učenjem o saznanju, bitno povećala dis­tanca između logičkog i matematičkog saznanja. Ukoliko se ne odnosi na oblike čistog sagledavanja prostora i vremena, mišljenje postaje skup samo analitičkih stavova, koji, doduše, ne sadrže ntkakvu protivrečnost,’ ali ne mogu ni pretendovati na bilo kakav sadržaj, na pozitivnu korisnost za celinu saznanja. A to pokazuje da zahtev za „mogućnošću konstruisanja“ u Kantovom sistemu ima dvostruki značaj. Naime, u njemu je, s jedne strane, samo postavljen i potvrđen baš onaj momenat čije smo dejstvo već zapa­zili u Lajbnicovom učenju o „genetičkoj definiciji“: sve što je „dato“ treba razumeti i izvoditi iz jednog „proizvodnog pravila“. S druge strane, za Kanta „definisati“ pojam znači neposredno ga predstaviti u intuiciji, tj. dokučiti ga na nekoj prostornoj ili vre­menskoj šemi. „Smisao“ matematičkih pojmova sad je vezan za taj oblik šematizovanja. Tako je tu „čista čulnost“ u ukupnoj strukturi matematike dobila sasvim drukčije mesto nego kod Lajbnica. Od pukog sredstva prikaza što je ona bila za Lajbnica, čulnost se pre­tvorila u samostalnu osnovu saznanja: intuicija je sačuvala utemeljujuću i legitimišuću vrednost. Za Lajbnica je oblast intui­tivnog saznanja, koje se odnosi na objektivno spajanje ideja, odvojena od oblasti simboličkog saznanja, u kojoj nemamo posla sa samim idejama nego sa znacima koji ih zamenjuju: ali intuicija, do čijih se osnova on vraća, ne predstavlja nikakvu instancu suprotnu onome što je logičko, nego čak sadrži kao posebne oblike to što je logičko i ono što je matematičko. Nasuprot tome, za Kanta granica nije povučena između intuitivnog i simboličkog mišljenja nego između diskurzivnog“ pojma i „čistog opažaja“, a sadržina tog matematičkoga se može dati i zasnovati samo ovim poslednjim.

Ako sa stanovišta moderne matematike posmatramo ovako datu metodološku suprotnost, moramo reći da je ta matematika napredovala ne putem na koji je ukazao Kant, nego onim na koji je ukazao Lajbnic. Naročito je otkriće neeuklidovske geometrije nju usmerilo tim putem. Zahvaljujući novim problemima koji su odatle proizašli za nju, matematika je sve više postajala „hipotetičko-deduktivan sistem“, čija se istinosna vrednost sastoji u nje­govoj unutrašnjoj logičkoj zaokruženosti i doslednosti, a ne u nekakvim sadržinskim intuitivnim iskazima. Ona se više ne poziva na intuiciju kao na pozitivno sredstvo za dokazivanje i obrazlaga­nje, nego je upotrebljava samo da bi dala jednu konkretnu reprezentaciju opštih povezanosti relacija koje sazdaje u čistom miš­ljenju. I, kako to ona i pokazuje, postoji uopšte beskrajno mno­go takvih reprezentacija, a ne samo jedna, tako da se jedan odre­đeni sistem „aksioma“ ispunjava ne samo u jednoj jedinoj oblasti intuitivnih datosti nego je kadar za najrazličnija ispunjenja. Različnost tih prikaza se ne osporava: ali ona je prestala da bude činjenica koja ima matematičko značenje. S matematičkog gledi­šta, sve raznovrsne intuitivne oblasti označavaju samo jedan objekt i jedan oblik: sve su one međusobno „izomorfne“ ukoliko ti isti odnosi R’, R“, itd. važe podjednako u svima njima i ukoliko je baš to važenje čistih odnosa (po novom shvatanju, koje je u 19. i 20. veku postalo opštevažeće) ono jedino što konstituiše matematički oblik kao takav. Već je jedan od osnivača moderne simboličke logike“, Džordž Bul, pojam „formalne nauke“ tačno odredio u onom smislu koji je kasnije apsolutno potvrdio razvitak „apstrak­tne“ matematike. On je naglasio da važenje procesa analize ne za­visi od interpretacije simbola koji se javljaju nego samo od zakona njihovog spajanja. Utoliko, na prvi pogled, više iznenađuje činjeni­ca da su sve teškoće koje se javljaju u u pojmu i problemu „intuicije“ u ovim poslednjim decenij ama ponovo iskrsle u samoj matematici, pa i da u njoj uzimaju sve više maha. Danas se borba opet zaoštrila, a s njom je i odnos između matematike i logike iznova postao mnogoznačan i sumnjiv. Na jednoj strani je shvatanje onih koji čistu matematiku žele ne samo da utemelje u logici nego i da je sasvim vrate u nju, dakle, koji principijelno osporavaju mogućnost po­vlačenja neke razdvojne linije između njih. A nasuprot ovome pogledu, drugi tako energično i upečatljivo zastupaju pose­bno pravo i poseban smisao matematičkoga da time ne samo proglašavaju „predmet“ matematike za nezavisan od predmeta logike, nego čak dopuštaju i mogućnost da matematika napadne fundamentalne principe „klasične“ logike, kao što je „stav isklju­čenja trećeg“. Sa ovog stanovišta se na logiku u njenom uobičajenom obličju ne gleda kao na temelj svekolikog mišljenja, nego ispada da postoje sasvim autonomne radnje mišljenja koje se ne mogu izvesti iz nje. Nije ona ta koja postavlja pravu osnovu istine, nego, napro­tiv, sav značaj i istinu koji su joj svojstveni ona dobija od druge jedne instance, od izvesnosti matematičke praintuicije. Za Brauera, koji je najstrože zastupao to osnovno shvatanje, na početku sveg mišljenja stoji mišljenje vezano za broj: a tek iz učenja o broju, iz aritmetike, izvučena su elementarna pravila logike. Ipak, pri tom se matematika, a i logika, prvobitno ne odnose ni na šta drugo osim na konačne količine. One postavljaju pravila za takve količine i ne dopuštaju nikakve druge procese osim onih koji se mogu dovesti do određenog „kraja“, do konačne odluke. Čim se pređe ta granica i mišljenje uznapreduje do koncepcija koje sadrže pojmove besko­načnoga, ono će naići na sasvim nov problem pred kojim će zatajiti njegova dotadašnja oružja. Po Braueru, moderna analiza je uzalud pokušavala da savlada taj problem; što je dalje napredovala, ona se sve više zaplitala u paradokse i protivrečnosti. Rešenje tih protivrečnosti ne može se očekivati od razvoja novih sredstava mišljenja, nego samo od kritičkog ograničavanja mogućih objekata mišljenja. Učenje o mnoštvu dobiće neprotivrečan oblik tek kad više ne bude pokušavalo da prisili mišljenje da veštački prelazi svoje prirodne granice, nego se, umesto toga, svesno i izričito ograniči na određene procese. Tako je ovde moderna matematika dovedena pred pravu metodsku dilemu, pred kojom se mora odlučiti. I kako god ta odluka ispala, ona u svakom slučaju mora uključivati i neko odricanje. Ako želi da ostane na glasu kao „evidentna“, matemati­ka će u tome uspeti samo ukoliko se vrati praizvoru te evidentnosti, osnovnoj intuiciji celoga broja. S druge strane, ona taj povratak mora platiti teškom intelektualnom žrtvom, koja preti da joj zauvek zatvori pristup širokim i plodnim oblastima što ih je klasična analiza osvajala korak po korak. U samoj matematici još se ne može videti konačno rešenje te oprečnosti. Ali kakvo god ono bilo, sa stanovišta čiste kritike saznanja, već činjenica te oprečnosti predstavlja važan i koristan problem: jer labilna ravnoteža, kakvu ovde vidi, kritičaru saznanja može pomoći da stekne posebno jasnu svest o prirodi raznih idejnih snaga koje su sudelovale u stvaran moderne matematike i odredile njen današnji oblik.

II Izgradnja teorije skupova i „kriza osnova“ matematike

Matematičko mišljenje je nailazilo na raznovrsne oblike „pa radoksa učenja o skupovima“, koji su dali prvi odlučujući podsticaj za reviziju osnovnih principa moderne analize, ali se – čisto meto­dološki posmatrani – svi oni mogu svesti na jednu jedinstvenu poj­movnu formulu. Svaki od tih paradoksa obuhvata pitanje da li je i u kojoj je meri dopušteno da se samo navođenjem jednog pojmovnog „obeležja“ opiše krug predmeta tako da zamišljena celina tih pred­meta predstavlja jednoznačno—određen i važeći matematički „objekt“. U početnim oblicima učenja o skupovima matematičko mišljenje je još verovalo da se dobronamerno može prepustiti ovoj vrsti stvaranja objekta: skup je, naizgled, bio određen kao jedin­stven, u sebi jasan predmet, ukoliko je bio naveden bilo koji kriterijum na osnovu kojeg se za svaku stvar moglo odrediti da li kao element pripada ili ne pripada tom skupu. Tim jednim jedinim zahtevom skup je bio „definisan“ i njegova „egzistencija“, kao legitiman matematički predmet, osigurana. Što se tiče pripadnosti „elementa“ tom skupu, bilo je dovoljno da ona bude načelno odredljiva, a nije zahtevana stvarna odredljivost za svaki pojedinačni slučaj: skup „trancendentnih brojeva“, recimo, „egzistira“ u već navedenom smislu, mada se, na sadašnjem nivou matematičkog saznanja, ne može navesti da li broj nn spada ili ne spada u njega. Po tom osnovnom shvatanju, jedan skup je, kao čisto postojeći, „dat“ ako se bilo kojim definišućim određenjem iz sfere zamislivoga izdvaja izvesna oblast, pa se svi njeni elementi zamišljaju kao sjedinjeni u jednom skupu. Način tog sjedinjavanja tu nije vezan ni za kakve ograničavajuće uslove. Jednakost u odno­su na definišuću osobinu jedina je veza koja se zahteva od članova skupa. Ako ta jednakost postoji, nije potrebna više nikakva „unu­trašnja spona“ koja povezuje te članove. Skup je od početka okarakterisan oblikom puke „agregacije“, a ne oblikom nekog speci­fičnog „sistema“: u osnovi, on baš iskazuje da se, nezavisno od svakog obzira prema kvalitativnom „srodstvu“ smisla, sve može povezati sa svačim i sjediniti u jednu celinu, u jednu pojmovnu ukupnost.

Ako predočimo sebi tu polaznu tačku učenja o skupovima, ne može nas začuditi to što je primena tog učenja nužno nailazila na izvesne granice, koje bismo mogli nazvati granicama „specifičnog smisla“. Ukoliko uopšte pretpostavimo da u sferi zamislivoga važe neki specifični zakoni smisla, onda ti zakoni moraju ranije ili kasnije postaviti neku granicu proizvoljnom povezivanju „svega sa svim“. Pojaviće se izvesni osnovni zakoni spajanja na osnovu kojih će određene jedinstvene tvorevine biti spoznate kao dopustive, kao objektivno-važeće, dok će se drugima osporavati to važenje. Tvore­vine ove druge vrste matematičko mišljenje 19. veka otkrilo je u antinomijama učenja o skupovima. Shvatanja su se najpre još više razilazila u pogledu rešivosti tih antinomija, kao i načina na koji više razilazila u pogledu rešivosti tih antinomija, kao i načina na koji treba pristupiti njihovom rešavanju; ali jedno je bilo sigur­no, naime to da je nužno napustiti dotadašnju „nevezanu“ definici­ju skupa. Po „aksiomatskom mišljenju“ je to vezivanje, sada spoznato kao neophodno, na početku i samo shvatano u čisto „formalnom“ smislu. Proizvoljnost u definiciji skupova, kao i dopuštanje iskaza o njihovim elementima, tako su ograničeni postavljanjem određenih aksioma da su se protivrečnosti u teoriji skupova mogle izbeći, dok su, s druge strane, uprkos nametnutim ograničenjima, domet i primenljivost te teorije ostali netaknuti. Logička obezbeđenja takve vrste u svakom pogledu su zadovoljila tehničke zahteve matematike. Tim putem su pošla Cermelova ispi­tivanja o osnovama učenja o skupovima i Raselovo učenje o tipovi­ma. Ovim poslednjim je, na primer, određenom postupku stvaranja skupa uskraćen pristup legitimnoj matematici (reč je o takozva­nom ,,ne-predikativnom“ postupku pri kakvom se pojam, koji kao član spada u izvesnu ukupnost, karakteriše tako da mu u definiciju ulazi baš ta ukupnost kao celina).  Konstatuje se da nijedna ukup­nost ne srne sadržavati članove koji se mogu definisati samo posredstvom same te ukupnosti. Ali čak i ako pođe za rukom da se postavljanjem takvih zabrana izbegne pojava protivrečnosti, ipak ostaje još jedno principijelno pitanje u vezi sa tim postupkom. Doduše, aksiomatika čisto sadržinski postavlja pred nas jednu određenu zabranu, ali nam ne otkriva njenu pravu, metodološku „osnovu“. Važenje jednog određenog aksioma – na primer, važenje stava koji je uveo Rasel kao „aksioma reducibiliteta“ – pokazuje se u njegovim povoljnim posledicama, u isključivanju „paradoksnih“ stvaranja skupa, ali se unutrašnja nužnost tog važenja ne shvata. Istina, mi poimamo to „da on važi, ali ne „zašto“ važi. Tako se aksiomatikom, u neku ruku, izbegava samo pojava jednog odre­đenog simptoma bolesti, ali stalno ostaje sumnja da li je time odista spoznata i pobeđena sama ta bolest, koja se ispoljava u ovom simptomu. I sve dok o ovome ne postoji nikakva izvesnost, mora se uvek računati s tim da će ona izbiti na nekom drugom mestu.

„Ograda aksiomatike“ – ovako je drastično opisan taj odnos „čuva, da se izrazimo kao Poenkare, legitimne ovce besprekorno učenja o skupovima od napada paradoksima razbesnelih vukova na njihovu zaštitnu ogradu. U trajnost te ograde ne može biti nika­kve sumnje. Ali ko garantuje da se u okviru ograde nisu neoče­kivano zadržali neki vuci, koji će, iako ih danas ne primećujemo, jednog dana jurnuti na stado ovaca i iznova, kao na početku ovog veka, opustošiti to, u međuvremenu ograđeno carstvo? Drugim recima, kako ćemo se obezbediti od toga da aksiomi u sebi ne nose skrivene klice koje mogu proizvesti još nepoznate protivrečnosti čim ih zaključcima dovedemo u odnos uzajamnog dejstva?“ Težnja ka takvom ne samo prolaznom nego i konačnom obezbeđenju morala je modernu matematiku vratiti na centralnu i bitnu tačku spora, na problem matematičke definicije i matematičke „egzistencije“. Tako je opet razlika između nominalne i realne definicije, kakvu je Lajbnic već jasno i precizno fiksirao, postala važeća. Nije dovoljno ma koje sjedinjavanje recima iskazivih obeležja pa da se odredi neki matematički predmet i da se zajemči njegova „mogućnost“. Štaviše, u šakom slučaju se, zarad obezbeđivanja te mogućnosti, samim recima mora supstituisati njihov jpnisao i, polazeći od kriterija tog smisla, doneti odluka. Posebno se ne može operisati beskonačnim skupovima, a da se ne postavi prethodno pitanje i odgovori na koji način i kojim sredstvima takvi skupovi uopšte mogu biti „dati“ mišljenju. „Paradoksni“ skupovi posebno jasno pokazuju da to „davanje“ nikad nije samo kolekti­van akt, da se ne može obaviti „okupljanje“ bilo kojih elemenata, određenih samo nekom zajedničkom „osobinom“. Zahtev da se spoji sve što ima udela u toj osobini predstavlja pre svega samo postulat čija se ostvarivost nikako ne jamči. Tek ne samo kolektiv­no, nego i „konstitutivno“ jedinstvo jednog zakona, kojim se određuje struktura skupa, može načelno pomoći da se prebrodi sumnja u mogućnost tog ostvarenja: jer taj zakon ne samo što obu­hvata beskonačnost mogućih slučajeva primene, nego i omogućuje njihovo proizlaženje iz njega. Međutim, to saznanje, u osnovi, vraća modernu matematiku, sasvim posebnim i novim putevima, na onu tačku od koje je pošao Lajbnic kao metodičar matema tičkog mišljenja. Sada je opet spoznata ona povezanost prav „realne definicije“ i „genetičke definicije“. U tom smislu i Va naglašava da valja poći od čistog postupka „iteracije“ ako želi doći do istinski sigurne i noseće osnove analize. Čisto učenje o brojevima opet postaje jezgro matematike, tako da kategorija „prirodnog broja“, zajedno s prvobitnom relacijom koja se na nju odnosi i kojom se izražava odnos „neposrednog sleđenja“ u poret­ku brojeva, određuje „apsolutno operacijsko područje“ matemati­ke. Iz procesa iteracije, beskonačno mogućeg toka u jednom nizu mogu se izvući elementarna saznanja o prirodnim brojevima, na kojima se logički zasniva celokupna čista matematika.

U ovom utemeljenju za kritiku saznanja ima bitan i odlučujući značaj okolnost da se tek njima u punoj meri priznaje primat poj­ma funkcije nad pojmom stvari. Ako se matematika svodi na „praintuiciju“ broja, ta intuicija više nikako ne znači intuiciju konkretnih stvari, nego je shvaćena kao intuicija jednog čistog postupka. Polazi se od određene oblasti operacija: a tek te operacije vode ka individuama, koje označavamo kao „brojeve“. „Postojanje“ tih individua nije ni dokazano ni dokazivo na bilo koji drugi način osim ukazivanjem na princip prema kome se one mogu postavljati u beskonačnost po jednom unapred određenom pravilu. Samo način tog postavljanja omogućava njihovo potpuno misaono ovladavanje: jer znanje o „zakonu“ ovde strogo prethodi znanju o „postavljenom“. Tek iz operacijskog područja broja raz­vija se stvarstveno područje brojivoga i brojanoga. Tek kad ova idealistička misao prožme moderni „intuicionizam“ i kad on sebe shvati kao njen izraz, taj će „intuicionizam“ moći sasvim da razvije i pokaže svoju sposobnost za kritiku osnova matematike. Razume se, sam idealizam ovde valja shvatiti kao strogo „objektivan“ idealizam: predmetno područje matematike ne srne se zasnivati na psihološkom aktu brojanja, nego na čistoj ideji broja. Ako se ne varam, Vajlovo shvatanje „intuicionizma“ ima prednost nad Brauerovim shvatanjem zahvaljujući strožem sagledavanju i nag­lašavanju baš tog momenta. I Brauerovo utemeljenje analize polazi od procesa „iteracije“. Po Braueru, analiza počinje postavljanjem raznovrsnosti koja je takva da se potpuno određuje samo jednom sređujućom relacijom. Princip intuicionističke matematike sastoji se u tome da se sva predmetna područja, koja ona obhvata, posredno odnose na tu prvobitnu i osnovnu šemu, pa ih valja uobličavati po uzoru na nju. Odatle sledi da, kad god matematika govori o „egzi­stenciji“ i kad god iskazuje određenu teoremu egzistencije, dragocena nije ta teorema kao takva nego konstrukcija izvedena u doka­zu. U tom smislu Brauer kaže da je cela matematika „mnogo više delanje nego učenje“. Ali tu je potrebno pre svega podrobnije objašnjenje o tome šta u sferi matematike i u okviru njenih granica valja podrazumevati pod pojmom samog delanja. Matematičko „delanje“ je čisto intelektualno delanje koje ne protiče u vremenu, nego tek omogućava jedan osnovni momenat na kome počiva samo vreme, momenat „nizanja“. Tako se osnovna operacija na kojoj se zasniva carstvo brojeva ne srne svesti na skup pojedinačnih radnji, koje su uzajamno u odnosu empirijske „uzastopnosti“, tako da samo „malo-pomalo“ sazdaju neku celinu. Naprotiv, tu je celina strogo „pre“ delova: u tom smislu što princip operacije, njen proizvodni zakon, stoji na početku, a svaka pojedinačna postavka tek od njega dobija smisao. Razvojni tok od člana do člana u nizu ne stvara taj princip,“ nego ga samo objašnjava; to je, tuieku ruku, tumačenje toga šta je on i šta on znači. Prema tome, matematičko „delanje“ je uvek jedno prosto univerzalno delanje koje u jednoj jedinoj osnovnoj postavci obuhvata beskonačnost mogućih delimičnih akta i čini ih potpuno preglednim. Sređujuća relacija od koje se polazi određuje jednom zauvek granice ukupnog područja mogućih predmeta, a za dobijanje i obezbeđivanje tog područja nije potrebno ukazivati na individualnost pojedinačnih predmeta niti ih „konstruisati“ u ovom smislu. Međutim, u Brauerovom zastupanju „intuicionizma“ kao da ta dva gledišta nisu strogo razdvojena. On zahteva za svaki matematički iskaz u obliku: „dato je“, zapravo, obrazloženje u jednompojedničanom aktu „davanja“, ali baš zato preti opasnost da kod njega iščeznu granice čisto idealnog i empirijskog davanja. Da bismo označili te granice, možemo pribeći razlikovanju koje je Lajbnic uveo i sproveo u drugom jed­nom problematičnom kontekstu. U svojoj kritici Njutnovih pojmo­va apsolutnog prostora i apsolutnog vremena on polazi od toga da se tim pojmovima može osporiti objektivni fizikalni značaj zato što se nikad ne mogu dokazati stvarnim posmatranjem. Pojam koji se ne može legitimisati konkretnim iskustvom ostaje prazan; s njim se ne može dovesti u vezu nijedan određen i jednoznačan fizikalan „predmet“. Na primer, kad govorimo o promeni kojoj vasiona podleže u pogledu načina svog „apsolutnog kretanja“, svaka pret­postavka takve promené je fizikalno-beznačajna ukoliko nemamo sredstva za konstruisanje njenog bivstva ili ne-bivstva. Granice posmatranja su, prema tome, ujedno granice onoga što možemo i smemo da označimo kao fizičku realnost. A na zamerku da u svetu može biti zbivanja, a da mi ne moramo biti kadri da ih konstruišemo sredstvima svog empirijskog istraživanja, Lajbnic je odgovo­rio metodskim zaoštravanjem svoje prvobitne teze. Elementi od kojih je za nas sazdana sama stvarnost prirode, stvarnost fizikalnog predmetnog sveta, ne moraju uopšte biti takvi da ih je moguće ponaosob dokučiti neposrednim opažanjem, ali je, ipak, nužno da budu dostupni posrednom osvedočavanju na osnovu nekog podat­ka iskustva. Odlučujući faktor tu nije aktualno, nego moguće posmatranje, nije „observation“ nego „observabilite“. U tom bi se istom smislu moglo reći da o važenju jednog matematičkog pred­meta ne odlučuje njegova stvarna, nego njegova moguća konstruk­cija, njegova „konstruktibilnost“. Izvođenje aktualne konstrukcije nije potrebno čim se mišljenje na osnovu jednog opšteg zakona, na osnovu uvida u apriornu strukturu jedne određene oblasti, uveri u mogućnost konstrukcije. Jezikom učenja o skupovima osnovna razlika, na koju ovde ciljamo, najjasnije se može označiti ako se setimo raznih značenja koja je pojam „određenog skupa“ dobijao u toku razvoja teorije skupova. Na početnim stupnjevima ove teorije taj pojam je shvatan toliko široko da se neki skup smatrao dovoljno određenim ako se za svaki objekt mišljenja sa sigurnošću moglo reći da li se ubraja ili ne ubraja u elemente tog skupa. Svaka u ovom smislu elementarno-određena ukupnost za nas predstavlja postojanje jednog skupa. U tom slučaju, paradoksi učenja o skupo­vima prinuđuju nas da odbacimo tu neograničenu upotrebu pojma skupa: zahtev za elementarnom određenošću zamenjuje se zahtevom za definicijom obima. Ne konstituiše već svaki skup, definisan navođenjem jedne osobine ili jednog zakona, kao takav jedan važeći matemtaički predmet; od tog skupa moramo zahtevati da bude ideelno-zatvoren, tako da izvan izvesnog zatvorenog kruga a$#ftri, koji se može razgraničiti određenim principom konstrukci­je, više nema elemenata skupa. Brauer je zatim otišao još korak dalje, dopuštajući samo takve ukupnosti određene u pogledu rešenja za koje se pitanje da li se u njima javljaju elementi unapred date osobine uvek može resiti posredstvom čisto finitnih procesa. Pojmu „konstruktibiliteta“, kako smo ga ovde pokušali formulisati, odgovarao bi zahtev za „definitnošću obima“, ali ne nužno i zahtev za „definitnošću rešenja“. Ovaj poslednji iziskuje stvarno izvršenu i okončanu konstrukciju, dok se onaj prvi zadovoljava ideelnom mogućnošću konstrukcije. „Ako je… P u oblasti prirod­nih brojeva neka smislena osobina“ – tako Vajl precizira razliku između svog i Brauerovog shvatanja – „tako da je po sebi izvesno da, ako je n ma koji prirodni broj, onda odgovara ili ne tom broju n, tada – po Braueru – moramo postaviti pitanje: postoji li ili ne broj sa osobinom P?, kao što i u slučaju dva niza brojeva, i to, iako je pojam prirodnog broja, naspram pojmu niza… ekstenzivno odre­đen.. . Brauer zasniva svoje shvatanje time da nema razloga da se veruje kako se svako takvo postojanje može resiti… Pri svom pokušaju utemeljenja analize ja sam, svesno nasuprot ovome, zastupao mišljenje da nije važno da li smo kadri da izvesrajl pomoćnim sredstvima, na primer načinima zaključivanja formalne logike, resimo neko pitanje, nego kako ta stvar stoji po sebi: niz prirodnih brojeva i pojam egzistencije koji se na njega odnosi pred­stavlja takav temelj matematike da je za neku osobinu P, smisle­nu u oblasti brojeva, uvek po sebi izvesno da li postoje ili ne postoje brojevi vrste P.“  U stvari, mogućnosti i prava na takve „po se%$| važeće iskaze ne možemo se odreći, a da time objektivnu „ideju“ broja ne svedemo na subjektivan akt brojanja, a time i princip idealizma na princip psihologizma. Razume se, sam Vajl još preteruje u potcenjivanju generalnoga i „apstraktnoga“, budući da iskaze opšteg oblika „dato je“ uopšte ne ističe kao sudove u pravom smi­slu nego, u krajnjem slučaju, kao „apstrakte sudova“. Stav „2 je paran broj“ je, po njemu, stvaran sud koji izražava neko stanje stvari, dok je drugi stav, naime stav da je „dat jedan paran broj“, samo apstrakt suda dobijen iz tog suda. Takav se može uporediti s parčetom hartije koje saopštava da postoji neko blago, ali ne odaje mesto na kome se ono nalazi. Prava saznajna vrednost ne može se pripisati takvoj hartiji: jer realnu vrednost, uporedivu sa sredstvi­ma za život u nacionalnoj ekonomiji, ima samo ono što je neposred­no, ono što je prosto-naprosto singularno; sve što je generalno samo posredno učestvuje u tome. Ali – ovako bismo mogli dalje razviti i preokrenuti ovu ovde upotrebljenu sliku – zar odista u „realne“ vrednosti nacionalne ekonomije spada samo ono što je u datom trenutku opipljivo, ono što se predstavlja kao direktno-pos-tojeće i direktno-korisno dobro? Zar i tu nije nužno praviti razliku između onoga što je u ovom smislu realno-dato i onoga što je pod određenim uslovima ostvarivo? Kritika saznanja ne može pokušati da ospori ili poljulja kredit „opštega“, već se mora samo zapitati kako ga valja ispravno utemeljiti. Čak i ako se na to „gene­ralno“ u Vajlovom smislu ne može gledati kao na „zvečeću mone­tu“, nego uvek samo kao na nešto reprezentativno i zastupničko, kao na puku novčanu uputnicu, njegova vrednost se time, ipak, ne umanjuje ukoliko je „realizacija“ zajemčena i obezbeđena. Bar se matematika nigde ne može lišiti takvih čisto reprezentativnih vrednosti, budući da se ona ne može svesti na pojedinačne iskaze redstavlja sistem čisto funkcionalnih određenja. Za važenje svojih opštih stavova ona nikad ne zahteva ispunjenost jednom odre­đenom singularnom sadržinom, nego samo ispunjivost. A istinski univerzalnim osnovnim sudovima matematike obezbeđena je baš ta ispunjivost: oni su konkretno-opšti u tom smislu što omogu­ćavaju da se jednim istim duhovnim pogledom obuhvati jedno sveobuhvatno pravilo i ujedno njegovi beskonačno-mnogostruki slučajevi primene. Pri tom, singularnost slučaja primene ne zasni­va to pravilo nego ga samo opravdava; ono se prikazuje na njoj, ali se njegov značaj ne svodi samo na nju. Utoliko opšti sudovi koji se odnose na egzistencijalna stanja stvari nisu, kako Vajl tvrdi, „pra­zna izmišljotina logičara“. Ako generalne „uputnice sudova“, kako sam on priznaje i ističe, u sebi skrivaju beskonačno obilje stvarnih sudova, čak ako „formulišu opravdani razlog za sve singularne sudove koje iz njih valja izvući“, onda sam opravdani razlog ne može poticati iz pukog ničega, nego mora imati neki „objektivan“ temelj. Međutim, i moderni matematički intuicionizam neretko se izlaže opasnosti koja se toliko puta ispoljila u filozofskom sporu o „problemu univerzalija“. I njegova zasnovana kritika pseudo-opštosti, opštosti „apstraktnog pojma“, preseže i na istinsku opštost, na opštost konstruktivnog principa. A baš zarad uspešnog strogog zasnivanja matematike i „egzaktne nauke“, to dvoje treba strogo razdvajati. Takvo zasnivanje ne može uspeti ako se umanji značaj opštega, ako se ono svede na singularno: može se i srne se zahtevati samo jedno, naime to da se taj značaj prosto ne „apstrahuje“, da se ne pretvara u odvojeno bivstvo, nego da se održi u stalnom dodiru sa posebnim i da se zamišlja kao nešto što se stal­no odnosi na njega.

Taj oblik „konkretno-opštega“ ne sagledava se i ne spoznaje se ni kad se na njega gleda kao na nešto čisto sekundarno i izvedeno što se bilo kako opet mora svesti na stvarnost „stvari“. Pokušaj takvog svođenja karakterističan je ne samo za izvesna empirijska izvođenja pojma broja nego i za jedan određeni pravac u okviru čistog „logicizma“. Empirizam i logicizam se ovde stiču u jednoj zajedničkoj „realističkoj“ pretpostavci: oba veruju da čisto važenje broja mogu obezbeđivati samo utemeljujući ga u nekom prethodno da tom sloju realno postojećega. Empirizam pri tom ide do egzi­stencije konkretno-čulnih skupova: on pokušava da čiste brojne iskaze protumači tako da oni postaju iskazi o neposrednim datosti­ma opažanja ili intuicije. Ako se to shvatanje dosledno dovede do kraja, aritmetika postaje deo fizike. Zato je Mil postupio sasvim dosledno kad je aritmetičke istine tretirao kao nezavisne od mate­rijala iskustva i od „miljea“ iskustva, zaključujući da stav 1 + 1=2 ne mora nužno važiti za stanovnike Sirijusa, koji možda žive u dru­gim empirijskim uslovima. Danas je, posle Fregeove radikalne kritike, takva vrsta „zasnivanja“ aritmetike svuda odbačena. Ali struktura učenja o čistim brojevima, koju su dali Frege i logičari, sledbenici njegovog puta, nije ništa manje daleko – mada u sasvim drugom pravcu — od ideala istinski „autonomne“ aritmetike. I tu poslednja i prava istina broja ne počiva u njemu samom nego u nečem drugom: iskazi o brojevima dobijaju objektivan smisao i objektivno važenje tek zahvajujući tome što se spoznaju kao iskazi o klasama. Postojanje takvih klasa, koje se sada, naravno, više ne uzimaju kao čulne, nego kao čisto pojmovne raznolikosti, pred­stavlja osnovu za sve stavove učenja o čistim brojevima. Dok Mil polazi od sloja empirijskih stvari, Frege polazi od određenih poj­movnih stvari, koje smatra neizbežno-nužnim supstratom carstva čistih brojeva. Po njemu, bez takvog supstrata bi broj, tako reći, izgubio svoje uporište i samo bi lebdeo u praznini. Ali čisto funkcionalni osnovni smisao broja podjednako se ne spoznaje uko­liko se pokušava izvesti bilo iz empirijske „egzistencije“ stvari ili iz logičke „esencije“ pojmova. U oba slučaja broj više ne znači neki prvobitan oblik postavljanja, nego iziskuje nešto prethodno dato i prethodno postavljeno. I za Raselovo izvođenje pojma broja iz poj­ma klase karakterističan je taj realizam. Za njega ono što je prvo nije pojam broja nego pojam jednako brojčanosti, a on se može definisati samo kao svojstvo određenih klasa, naime kao svojstvo nji­hovih elemenata da se uzajamno jednoznačno pridodaju. Tako, na primer, pojam „dva“ ne izražava ništa drugo već određenje koje se neposredno nalazi kod izvesnih grupa stvari – kod stvari koje obično nazivamo „parovima“ – i od njih se može apstrahovati, kao što broj „dvanaest“ označava jedno zajedničko svojstvo svih „tuce­ta“. Značenje tog „dvanaest“ zavisi od bivstva tih „tuceta“: jer broj kao takav može se zamisliti samo kao „klasa klasa“ koje su međusobno povezane relacijom ekvivalencije. I ovde taj odnos sledi za makar koliko logički shvaćenim i logički prečišćenim bivstvom, umesto da se iz njega, iz osnovnog postojanja te relacije, izvodi biv­stvo i njegov poredak i struktura.

Nasuprot svim ovim pokušajima, „intuicionizmu“ pripada za­sluga što je ponovo uspostavio primat relacije i obezbedio mu načelno priznanje. Sad se svesno odbacuje svaki pokušaj da se učenje o čistim brojevima dublje utemelji prikazivanjem tog učenja kao pukog specijalnog slučaja jednog opšteg učenja o skupovima i logičkom „dedukcijom“ niza prirodnih brojeva iz pojma klase i skupa. Umesto takve dedukcije javlja se „potpuna indukcija“. Naravno, ovaj naziv može pobuditi izvesnu sumnju, jer on, naiz gled, matematiku približava empirijskoj nauci, a ne logici, i teži d je utemelji u osnovnom postupku ove nauke. Međutim, „indukcija“ o kojoj je ovde reč strogo je odvojena od postupka „empirijsko uopštavanja“ koji se obično označava ovim terminom. Ona je u sebi sačuvala istorijski-prvobitni smisao te reči: smisao one „vođenja ka nečemu“. To „vođenje ka nečemu“ ne bi bilo dostojno toga naziva, ostalo bi puko pipanje po mraku, da ne raspolaže jed­nom opštom merom za ravnanje. Prema tome, prava matematička indukcija ne traga tek za putem ka opštem nego pokazuje taj put; ona je čak sama taj put. I njen pravi putokaz nije onaj „induktivni zaključak“ koji napreduje od datog mnoštva slučajeva do jedne hipotetičke pretpostavke ili tvrdnje o opštosti slučajeva, nego je takozvani „zaključak iz n na n + 1″. U ovom se zaključku ne zbiraju određenja, nađena i dokazana kod singularnih slučajeva, kod pojedinačnih brojeva, niti se prenose na druge, takođe singularne slučajeve, nego se, tako reći, ide do apsolutnog principa bro­ja: spoznaje se da se ona ista osnovna relacija koja u okviru niza brojeva jedan član povezuje sa drugim što „neposredno za njim sle­di“ nastavlja kroz ceo taj niz i određuje ga u svim njegovim delovima. Utoliko, zapravo, u osnovi principa „potpune indukcije“ leži prava „sinteza a priori“, kako je to neprestano naglašavao naročito Poenkare. I po Vajlu, tom principu nije potrebno dalje zasnivanje niti je on kadar za njega zato što se u njemu predstavlja samo matematička praintuicija, intuicija onog „još uvek jednog“.Nijedan od takozvanih „rekurentnih dokaza“ u matematici nema za cilj ništa drugo osim svođenja jednog određenog matematičkog problema na taj poslednji izvor saznanja, pa time i njegovo vra­ćanje na onu tačku na kojoj se on sigurno može resiti. Ne bilo koji odnosi stvari, nego uvek samo čisti odnosi postavljanja, odnosi koji se svode na funkcije postavljanja jedinstva i postavljanja različnosti, nizanja i pridoda van ja, mogu zasnivati apriornost matema­tičkih sudova i svojstvenu im, specifičnu „evidenciju“. Logistika se pri svom pokušaju da pojam broja izvede iz pojma skupa uvek po­sebno  mnogo čuvala prigovora da svaki takav pokušaj sadrži petitio principu: ukazivala je na to da smisao u kome logika govori o „identitetu“ i „razlici“ nikako ne obuhvata već i ono numeričko jedno i numerički skup i da se, stoga, postiže odlučan napredak saznanja kad uspe svođenje „numeričkog“ smisla na čisto logički smisao. Bez obzira na formalnu ispravnost tog prigovora zbog petito principii, jedno se teško može osporiti: naime, to da dedukci­ja pojma broja iz pojma klase u saznajnokritičkom, u strogo „tran­scendentalnom“ smislu sadrži jedan. Da bi se pojam klase ispunio jednim određenim sadržajem, u njega se uvek moraju unositi već misaone funkcije postavljanja, identiteta, različnosti; dakle, isti oni odnosi koji su potrebni za konstituciju pojmi broja i iz kojih se taj pojam može dobiti neposredno, a ne zaobila­znim putem preko „klase“.

(Ernst Kasirer, 312 – 330 str., Filozofija simboličkih oblika, Dnevnik, Književna zajednica Novog Sada, 1985)

 

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s