ERNST KASIRER – Predmet matematike, drugi deo (Mesto „znaka“ u teoriji matematike/„Idealni elementi“ i njihova uloga u zasnivanju matematike)


PREDMET MATEMATIKE II

originalslika_Filozofija-simbolickih-oblika-1-3-Ernst-Kasirer-96280825

Mesto „znaka“ u teoriji matematike

Ako se još jednom osvrnemo na razne pokušaje zasnivanja bro­ja u modernoj matematici, videćemo da je, možda, najupadljivija crta svih tih pokušaja to što nas svaki od njih u krajnjoj liniji vodi ka jednoj tački na kojoj preti opasnost da zataji kompetencija čiste matematike. Nasuprot matematičkoj problematici javlja se problematika sasvim drukčijeg smisla i porekla: izgleda da čistoj matematici izmiče rešenje i da je to rešenje nužno prepustiti „po­gledu na svet“ pojedinačnog istraživača. Već je Pol di Boa-Rejmon u svojoj „opštoj teoriji funkcija“ izvukao taj paradoksalni zaklju­čak, već je on izjavio da se borba između „idealiste“ i „empiriste“ ne može resiti po stogo objektivnim, opštevažećim kriterijumima, nego da se tu došlo do sfere u kojoj se priznaje pravo filozofske veroispovesti pojedinca. Tako je, zapravo, Brauerovo učenje nazi­vano „do kraja domišljenim idealizmom u matematici“, dok su Fregeovo i Raselovo učenje očigledno srodna sa određenim pravcima sholastičkog „realizma“. Kao što je u srednjovekovnom univerzali­zmu ovaj problem ušao u novu fazu čim se u vidu filozofije Viljema Okamskog pojavilo novo učenje, učenje o takozvanom „terminizmu“, tako je i danas došlo do analognog razvitka u taboru čiste matematike. U borbi za „objektivitet“ matematike, u neku ruku, nastupa promena na samom frontu čim se postavi pitanje matema­tičkih znakova, a ne neposredno matematičkih predmeta. Sad se, s one strane „idealizma“ i „realizma“, uzdiže „formalizam“ kao sa­mostalna sila. A tek je zajedno s njim konačno prebrođena opas­nost od prekoračenja oblasti matematike, od metodske. Matematika može da spase i ponovo zadobije svoju ugroženu autonomiju samo ako se odluči da postane učenje o „znacima“. U savremenoj matematici je Hilbert najpotpunije izvu­kao tu konsekvencu. On se žestoko borio protiv intuicionizma, nasu­prot kojem je pokušao da istakne važenje „klasičnog“ oblika anali­ze i učenja o skupovima. Ali, s druge strane, njegovo učenje je izraslo iz ekstremne kritičke opreznosti u odnosu na „nevezano“ formiranje skupa, iz nepoverenja prema „transfinitnim“ načinima zaključivanja u teoriji skupova. On ustaje ne samo protiv intuicio­nizma, nego i protiv „ekstremnog pojmovnog realizma“, čijim ovaploćenjem smatra Fregeovo učenje. I Dedekinova ideja da konačni broj zasnove na onome što je beskonačno, na „sistemu stvari“, iz­gleda mu, doduše, sjajna i primamljiva naglašava da su paradoksi učenja o skupovima učinili taj put neprohodnim. Ipak, osobenost Hilbertovog učenja ne bismo spo­znali kad bismo ga smatrali samo srednjim putem koji izmiruje dva misaona ekstrema. Štaviše, ono želi da da jednu novu intelektualnu ukupnu orijentaciju. Kako Hilbert naglašava, apstraktno operisanje opštim pojmovnim obimima i pojmovnim sadržajima nepresta­no je odvlačilo matematičko mišljenje na stranputice: s tom metodom valja odlučno prekinuti i naći put kojim će mišljenje moći ne samo da napreduje po određenom, unapred označenom planu, nego i da svaki svoj korak istovremeno preispituje. Takvu kritičku instancu Hilbert pokušava da stvori u svojoj „teoriji doka­za“. U njoj je osnovna ideja Lajbnicove „opšte karakteristike“ iz­nova prihvaćena i pregnantno i zaoštreno izražena. Proces „osvedočavanja“ pomeren je iz pravca sadržinskog mišljenja u pravcu „simboličkog“ mišljenja. Kao preduslov za primenu logičkih zak­ljučaka i za dejstvovanje operacija uvek nam već moraju biti dati u vidu predstave izvesni čulno intuitivni karakteri. Tek oni daju mišljenju sigurnu nit-vodilju, po kojoj se ona mora kretati ako želi da se oslobodi svake obmane. „Budući da zauzimam ovo stanovište“, – tako Hilbert rezimira taj svoj osnovni pogled – „za mene su, sasvim suprotno Fregeu i Dedekindu, predmeti teorije brojeva sami znaci, čije obličje mi svuda i sigurno prepoznajemo nezavisno od mesta i vremena i od posebnih uslova pravljenja zna­ka, kao i nezavisno od neznatnih razlika u izvedbi. U tome je ona čvrsta filozofska orijentacija koju smatram potrebnom za zasniva­nje čiste matematike, kao i uopšte za svekoliko naučno mišljenje, razumevanje i saopštavanje: na početku bese – kaže se ovde – znak.“

Ako se ta orijentacija shvati ozbiljno, celokupna čista matema­tika se, naizgled, svodi samo na igru. Ako znaci ne igraju samo posredničku ulogu u tom smislu što nam reprezentuju određena idealna stanja stvari, nego oni sami i način njihovog sastavljanja, način na koji se oni spajaju u intuitivne grupe i „formule“, pred­stavljaju predmet matematičkog razmatranja, – onda to razma­tranje ostaje svoj sopstveni zarobljenik. Ono se potpuno sigurno kreće u svom krugu, ali to kretanje više nije usmereno ni prema jednoj tački kao cilju. U prilog tom svom osnovnom shvatanju Hil­bert se poziva – ništa manje nego – na Kanta. Po njemu, smisao „transcendentalne estetike“ sastoji se baš u tome što puka logika nikada i nigde ne može da stvori matematiku, nego potreban i neophodan oslonac za to leži u „intuiciji“. Ali on tu intuiciju uopšte ne uzima u Kantovom smislu „čiste intuicije“; ne uzima je kao „aprioran oblik“ nego kao jednu celinu konkretno-čulnih datosti. „Da bi logičko zaključivanje bilo sigurno, objekti moraju biti sasvim pregledni u svim delovima, pa je ukazivanje na te delove, razlikovanje među njima, njihova uzastopnost i naporedost data neposredno intuitivno zajedno sa objektima, kao nešto što se ne može svesti još na nešto drugo ili čemu je potrebno to svođe­nje… U matematici su predmeti našeg posmatranja sami konkretni znaci, čije je obličje, po našoj orijentaciji, neposredno jasno i prepoznatljivo.“ Do sada su se neki pozivali na ove stavove da bi samog Hilberta žigosali kao jednu vrstu „intucioniste“. Među­tim, ta prividna analogija iščezava čim dublje uđemo u pretpostav­ke Hilbertovog sistema. U okviru ovog sistema intuiciji priprada sasvim drukčije mesto, a i upotreba joj je sasvim drukčija, nego u intuicionističkom zasnivanju matematike. Ona tu ne igra, kao u ovom zasnivanju, aktivnu nego pasivnu ulogu, ona je neka vrsta „datosti“, a ne neka vrsta „davanja“. Za intuicioniste „praintuicija“ celog broja znači takav konstruktivan princip na osnovu čije se produžene primene stvara beskonačna raznolikost brojčanih individua; za Hilberta se zadatak intuicije sastoji u tome što nam ona daje izvesne vanlogičke diskretne objekte, koje moramo prosto uzeti takve kakvi su, kao neposredan doživljaj pre svakog mišljenja.4 Doduše, ni znaci u Hilbertovoj simboličkoj matematici ne mogu se prosto shvatati kao singularne stvari, koje su dokazive prostim aktom ukazivanja, kao nekakvo „ovo“ i „to“, kao rode ti. Oni mogu u izvesnim određenjima – na primer, u pogledu materija­la od kojeg su sačinjeni, u pogledu svoje boje, velike itd. itd. — varirati u velikoj meri, a da zato ne prestanu da budu „ti isti“ znaci. Dakle, po sebi različtiti čulni sadržaji mogu fungirati kao „isti“ znak: njihovo prepoznavanje se ne onemugućava time što se pojedine njihove drugorazredne crte međusobno razlikuju. Ipak, i dalje sasvim ostaje da važi da matematičko mišljenje nije upućeno na to da znacima supstituiše bilo koje apstraktno „zna­čenje“, nego da ih se čvrsto drži kao konkretno-intuitivnih tvorevi­na i da se posredstvom tih tvorevina orijentiše na svom putu. Po Hilbertu, „formalizovanje“ procesa matematičkog zaključivanja mora se sprovesti do tog stepena da se svaka protivrečnost u mišljenju odaje neposredno u pojavi određenih konstelacija znaka. Kad opšta „teorija dokaza“ prodre do ove tačke, mišljenje se oslo­bađa svakog sadržinskog razmatranja. Eventualne protivrečnosti u koje se ono zaplelo sada više ne treba s naporom otkrivati u teškom „diskurzivnom“ procesu nego one, tako reći, „bodu oči“. Kad god se u nekom dokazu javljaju formule određenog svojitva, strogo zabranjenog opštom teorijom, kod njih se može konstatovati poja­va protivrečnosti; a ako se, obrnuto, pokaže da u makar koliko raz­vijenom lancu zaključaka nikad nema takvih „zabranjenih“ for­mula, baš time se dokazuje i obezbeđuje neprotivrečnost tog lanca. Stoga, moderni matematički „terminizam“ ide dalje baš onim istim pravcem koji ima odredujuću ulogu za razvitak logič­kog terminizma srednjeg veka. Kao što su za ovaj drugi navedeni terminizam reči jezika postale prazne ljušture, „flatus vocis“, tako za onaj prvi znaci postaju puke intuitivne figure kojima nije svoj­stven nikakav samostalan „smisao“. Protivnici Hilbertove teorije uvek su stavljali prigovore na ovoj tački. Njihovi prigovori su bili sledeći: ako se Hilbertovom teorijom dokaza obezbeđuje istina matematike, matematika se lime, ipak, ujedno pretvara u neizmernu tautologiju: jer važenje koje joj se sada priznaje više nije važenje nekog objektivnog saznanja, nego je važenje jednog čisto konvencionalnog pravila igre, sasvim uporedivog sa pravilima koja važe za igranje šaha. Za intuicionistu se u matematičkim simbolima izražava jedan bitan osnovni pravac i kvalitet ljudskog intelek­ta, dok su za formalistu ti simboli samo „znaci na papiru“.5 Ali Vajl, koji stavlja taj prigovor, naravno, i sam zapada u teškoće čim pokuša da prevlada negativnu tezu konvencionalizma i da je zameni pozitivnom tvrdnjom. Na dva različita načina pokušava da obezbedi objektivno značenje matematičkih simbola: jednom, sa stanovišta njihove fizikalne primene, a drugi put, sub specie meta­fizike. Da bi matematika ostala „ozbiljna kulturna stvar“, – zak­ljučuje on – ,,s Hilbertovom igrom s formulama nužno je povezati neki smisao. Ali gde je ta onostranost prema kojoj su usmereni sim­boli matematike? Ne nalazim je ukoliko matematiku ne spojim sasvim sa fizikom i pretpostavim da matematički pojmovi broja, funkcije itd. (ili Hilbertovi simboli), u načelu, sudeluju u teorijskoj konstrukciji stvarnog sveta isto onako kao što sudeluju pojmovi energije, gravitacije, elektrona i slično.“ Ali to nije dovoljno: jer i transfinitnim sastavnim delovima matematike, koji daleko premašaju zahteve fizike, valja pripisati samostalno značenje. Od ideje takvog značenja ne možemo odustati, ali, razume se, moramo biti načisto s tim da tako ulazimo u sferu koja se više ne može sagledati, nego se u nju još samo može verovati. ,,U teoriji svest uspeva ‘da preskoči vlastitu senku’, da za sobom ostavi materiju datoga, da prikaže ono što je transcendentno; ali, po sebi se razume, samo u simbolu. Teorijsko uobličavanje nije isto što i intuitivni uvid; cilj mu nije ništa manje problematičan od cilja umetničkog uobličavanja. Nad idealizmom, za čije je uništenje pozvan u saznajnoteo-rijskom smislu apsolutizovani naivni realizam, uzdiže se treće car­stvo… Dok fenomenalni uvid označavam kao znanje, teorijski uvid počiva na veri, na veri u realnost vlastitog i tuđeg ja ili u realnost spoljnjeg sveta ili realnost boga.“

Pred nama je najzaoštreniji vid one suprotnosti koja dominira u metodskom sporu u modernoj matematici. Matematičke znake možemo smatrati svrhom po sebi, pravim predmetima matičkog saznanja, ili im udahnuti nekakav duhovni život; taj život oni dobijaju samo ako se odnose na nešto drugo izvan sebe samih i ako su shvaćeni kao simbolički prikazi toga drugoga. Ali kad se već krene tim putem, kad se matematičkim tvorevinama pripiše neki „transcendentan“ smisao, misao više ne nailazi na granice: ona nezadrživo napreduje od tranzitivnog ka transcendentnom zna­čenju. A sada, kada smo u razmatranju današnjeg nivoa saznanja u matematici došli do ove tačke, treba se držati nje i odatle se osvrnuti na naše sistematsko postavljanje problema. To postavlja­nje problema nas je podučilo da disjunkcija pred kojom smo se našli nije jednoznačna ni potpuna. U toku svog istraživanja stalno smo dolazili do saznanja da pravi i istinski pojam „simboličkoga“ ne podleže uobičajenim metafizičkim podelama i dualizmima, nego probija njihov okvir. To simboličko nikad ne spada u „ovostranost“ ili „onostranost“, u oblast „imanencije“ ili „transcendencije“, nego se njegova vrednost sastoji baš u tome što prevladava te suprotnosti koje potiču iz metafizičke teorije o dva sveta. Ono nije jedno ili drugo, nego predstavlja „jedno u drugome“ i „drugo u jed­nome“. Tako i jezik i mit i umetnost ponaosob konstituišu samo­stalnu i karakterističnu tvorevinu, čija se vrednost ne čuva time što se u njoj nekako „odražava“ neko spoljašnje i onostrano bivstvovanje. Naprotiv, oni dobijaju sadržinu time što, po vlastitom, svoj­stvenom im zakonu tvorbe, grade po jedan svojevrstan i samosta­lan, u sebi zatvoren svet smisla.

Pokazalo se da u svima njima dejstvuje princip „objektivnog“ formiranja i uobličavanja. Oni su načini „postajanja bivstvom“, kako to Platon kaže. Ako to opšte saznanje primenim na svet matematike, videćemo da smo i tu oslobođeni alternative da simbole matematike svedemo na „puke“ znake, na intuitivne figure bez smisla, ili da im podmećemo nekakav transcendentan smisao, kakav može dobiti samo metafizička ili religiozna „vera“. U oba slučaja bismo pro­mašili značenje koje im je svojstveno. Ono se ne sastoji u tome šta oni po sebi „jesu“, niti u nečemu što oni „podražavaju“, nego u specifičnom pravcu same ideelne tvorbe, – ne u spoljašnjem objek­tu ka kome su usmereni, nego u određenom načinu objektiviranja. Svet matematičkih oblika je svet oblika poretka, a ne oblika stvari. Stoga se njegova „istina“ ne može odrediti tako što ćemo znacima u kojima se ona predstavlja oduzeti signifikativno značenje i ostaviti im, tako reći, njihovu objektivno-fizičku sadržinu,  niti tako što ćemo ukazati na bilo koje postojeće pojedinačne predmete kojima ti znaci neposredno odgovaraju. Naprotiv, specifična vredn matematičkog elementa spoznaje se, odnosno njegova „quid ju otkriva se samo ukoliko se pokaže njegovo mesto u celini proces objektivacije saznanja. Matematički elemenat je nužan momenat u ovom procesu, a ne jedan deo i odraz neke transcendentne stvarno­sti, bilo da nju smatramo fizičkom ili metafizičkom. Ako se bude­mo čvrsto držali ovog gledišta, koje nam propisuje ukupno naše razmatranje, uspećemo da – polazeći od njega – resimo teškoće na koje, kao što smo videli, nailazi odnos matematičkoga prema logičkome, kao i odnos matematičkoga prema „intuitivnom“ bivstvu. Razlike koje tu postoje ispoljavaju se stvarno jasno tek ako ih shvatamo i vrednujemo kao funkcionalne, a ne kao stvarstvene razlike. I logički svet i matematički svet i empirijsko-predmetni svet imaju zajedničku osnovu utoliko što svi oni vuku korene iz jednog istog prasloja oblika čistog odnosa. Bez tih oblika, bez kategorijalnih određenja kao što je jedinstvo i drukčijost, jednakost i razlika, ne bi bilo moguće zamisliti ni neku celinu logičkih predmeta, ni skup matematičkih predmeta ili poredak empirijskih objekata. Ali od logičkoga do empirijskoga, od čistog oblika mišljenja do predmeta iskustva vodi određen postepen put, na kome se to matematičko pojavljuje kao neophodna prolazna tačka. U poređe-nju sa logičkim predmetom, matematički predmet već ima obilje novih „konkretnih“ određenja; jer obliku postavljanja, razlikova­nja, relacije uopšte on dodaje i određeni način postavljanja, onaj specifični modus postavljanja i sređivanja koji se prikazuje u sistemu brojeva i u „nizu prirodnih brojeva“. Ali, s druge strane, pokazuje se da je taj novi modus neophodna priprema i preduslov da se dođe do nekog poretka sveta opažanja i time i do onog pred­meta koji nazivamo predmetom „prirode“. Međutim, ni tu objektivno značenje matematičkoga nije u tome što ono u prirodi, u fizičkom svetu poseduje neke neposredne korelate, nego u tome što ono sazdaje strukturu tog sveta i tako nas uči da razumemo njegovu zakonitost. U ovom smislu logički predmet upućuje na matematički, matematički na empirijsko-fizikalni predmet, ah ne tako da se jedan može smatrati kopijom ili podražavanjem onog drugog, nego tako što svaki od njih reprezentuje jedan određen stadijum postavljanja predmeta i zato što princip jedinstva saznanja u sebi uključuje zahtev da se ovi stadijumi ne shvataju kao podvoje­ni, nego kao stadijumi koji se odnose jedni na druge.

Tek ako pođemo od ovog načelnog saznanja, dobićemo odista zadovoljavajući odgovor na pitanje o „istinosnoj vrednosti“ matematičkih simbola. Da bismo došli do tog odgovora, ne moramo matematičke pojmove neposredno meriti „apsolutnom“ stvarnošću stvari, nego se poređenje odnosi samo na matematički oblik saznanja, s jedne, i logički i fizikalni oblik saznanja, s druge strane. A rezultat tog poređenja sastoji se, u krajnjoj liniji, u tome što nije­dan od tih oblika sam za sebe, nego samo svi oni u svojoj povezano­sti i u međusobnom zadiranju, sazdaju objektivno „bivstvo“ i sferu objektivno-teorijskog važenja. Dakle, taj rezultat se sastoji u tome što nijedan od njih nema neku apsolutno izolovanu istinu i važenje, nego njih imaju uvek samo oni u celini, u postupnosti i u sistemu saznanja. Tako se ne možemo složiti ni sa Vajlom, koji oblast „intuitivnog uvida“ odvaja oštrim rezom od oblasti „teorij­skog uobličavanja“, pa jednu pripisuje „znanju“, a drugu „veri“. Za nas nema nikakvih podvojenih, po sebi postojećih intuitivnih „doživljaja“ koji nisu već ispunjeni nekim funkcijama teorijskog značenja i shodno njima uobličeni, kao što, s druge strane, ne može biti ničeg što je samo značenju shodno, a što nije potražilo i našlo neko ispunjenje u intuitivnoj sferi. „Značenje“ ne možemo dokučiti nikako drukčije osim povratnim dovođenjem u vezu sa „intuicijom“, kao što nam je to što je intuitivno „dato“ samo s „obzirom“ na značenje. Ako se ovoga čvrsto držimo, izbeći ćemo opasnost da se ono što je simboličko kod našeg saznanja pocepa u samom sebi, da se, tako reći, raspadne na jedan ^imanentan“ i jedan „transcendentan“ sastavni deo. To simboličko je, štaviše, imanencija i transcendencija u jednom: ukoliko se u njemu jedna načelno nadintuitivna sadržina ispoljava u intuitivnom obliku.

Time se u novom svetlu pokazuje i vrednost strogo „formalističke“ strukture matematike. Ta se vrednost, po sebi, skoro i ne može preceniti: nije preterano reći da matematika može da oprav­da i sačuva svoj stari rang i slavu kao „stroga nauka“ samo ako se odista dovede do kraja zadatak njenog „formalizovanja“, onako kako ga shvata Hilbert. Tako bi se opet zbilo ono čudo koje leži u osnovi suštine samog matematičkog elementa: pitanje beskonačnoga postalo bi dostupno konačnom rešenju, rešenju posred­stvom „finitnih“ procesa. Sam Hilbert kaže da je preimućstvo njegove teorije zapravo u tome što se njom ideja beskonačnoga metodski zasniva i obezbeđuje onim konačnim. Ali koliko god da dovršenje matematike iziskuje sprovođenje i čisto izdvajanje ovog strogo formalističkog gledišta, ipak se ovaj matematičko-tehnički interes ne poklapa sa čisto saznajnoteorijskim. Kritika saznanja mora, u krajnjoj liniji, ponovo zahtevati uspostavljanje jedinstva između ta dva osnovna momenta, koje matematička aps­trakcija opravdano razlaže. U stvari, u saznajnokritičkom smislu, „formalizam“ i „intuicionizam“ se nikako uzajamno ne isključuju niti su međusobno disparatni. Baš ono čije se značenje dokučuje čistom intuicijom, mora se fiksirati i sačuvati procesom formalizovanja, mora se kao stalno rasploživ posed pripajati mišljenju. U tom smislu već Lajbnic, jedan od najdoslednijih predstavnika stro­go formalističkog stanovišta, nije razdvajao „intuitivno“ i „simbo­ličko“ saznanje, nego ih je nerazdvojno povezivao. Po njemu, ovo prvo daje osnove matematike, a drugo obezbeđuje da se sa tih osnova duž neprekidnih lanaca dokaza dospe do zaključaka. Na tom svom putu mišljenje se ne mora stalno obzirati na sama ideal­na stanja stvari: na dužim rastojanjima se može zadovoljiti time da umesto operacije sa „idejama“ uvede operaciju sa „znacima“. Ali na kraju, ipak, nužno dolazi do tačke na kojoj će postaviti pitanje „smisla“ znakova, na kojoj će zahtevati sadržinsku intepretaciju onoga što se izražava i predstavlja u tim znacima. Tako se Lajbnicov matematički simbolizam upoređuje sa durbinom ili mikrosko­pom. Koliko god da se i jednim i drugim unapređuje čovekov vid, on se njima, ipak, ne može zameniti. Kao jedan oblik intelektualiMfg vfeJa, matematičko saznanje počiva na prvobitnoj i samostalnoj funk­ciji uma koji se simboličkim karakterima služi samo kao oruđem. Koliko znam, ni veliko Hilbertovo proširenje i produbljivanje matematičkog formalizma nigde ne izaziva poništenje tog prin­cipijelnog opredeljenja. Hilbeft ne bi mogao da izgradi i potkrepi svoj sistem znakova da nije uzeo za osnovu pojmove poretka i redosleda kao „prapojmove“. Čak i kad se shvataju kao puki znaci, Hilbertovi brojevi su uvek već znaci mesta: snabdeveni su jednim određenim „indeksom“ po kome se raspoznaje način na koji slede jedan za drugim. Dakle, čak i ako smatramo da su pojedinačni znaci samo čisto intuitivno dati vanlogički diskretni objekti, ipak baš ti objekti u celini ne stoje naporedo prosto kao uzajamno neza­visni elementi, nego poseduju određenu strukturu. Pođemo li od 0 kao početnog znaka, određenim tokom ćemo dospeti do „najbli­žeg“ znaka 0′, od njega do 0″, do 0″‘, itd. To, u krajnjoj liniji, ne znači ništa drugo već da pojedinačne znake moramo shodno jed­nom određenom poretku razdvajati da bismo ih sigurno međusob­no razlikovali, a to razdvajanje je, u osnovi, već „brojanje“ u sadržinskom smislu te reči. Crte koje koristimo za odvajanje 0 od 0′, 0′ od 0″ itd. fungiraju tu već kao brojevi u smislu jednog čisto „ordinarnog“ izvođenja pojma broja. U celini uzev, možemo reći da „intutitvnom“ mišljenju pada u deo postavljanje temelja matematičke zgrade, a simboličkom mišljenju izgradnja i obezbeđenje te zgrade. Sa gledišta kritike saznanja, ta dva zadatka pripadaju, tako reći, različitim nivoima. Za Hilberta važi stav: „na početku beše znak“ zato što i utoliko što on smatra da je glavni zadatak njegove teorije da sprečava zabludu, da matematičko mišljenje sačuva od protivrečnosti. Ali ono što služi za odbranu od zablude još nije i sasvim dovoljna osnova istine. Tu osnovu je moguće naći samo u određenim sintetičnim spojevima mišljenja koji utemeljuju strukturu određenog predmetnog područja i omo­gućavaju ovladavanje tim područjem posredstvom opštih zakona. Pored analitičke logike, koja predstavlja potpun i neprekidan pre­gled onoga što je nađeno i njegovih sistematskih veza, Lajbnic je zahtevao i jednu „logica inventionis“, logiku pronalaženja. U smislu tog razlikovanja moglo bi se reći da je formalizam neopho­dan instrument za logiku toga nađenoga, ali da on ne otkriva prin­cip matematičkog „nalaženja“. Hilbert katkad govori o tome da je cilj njegove teorije da vladavinu matematike za sva vremena osigu­ra od svih „pokušaja pučeva“ kakvi su podizani protiv klasične analize. Ali ako teorija dokaza ikad potpuno postigne taj svoj cilj, logičar i kritičar saznanja još uvek će moći da se zapita da li su sna­ge, koje su ovde pozvane da zaštite vladavinu matematike, one iste snage koje su zasnovale vladavinu matematike u carstvu duha, pa je stalno proširuju i povećavaju. Formalizam je neuporediva sred­stvo za „ disciplino vanje“ matematičkog uma, ali sam za sebe ne može da objasni njegovo postojanje niti da ga opravda u „transcen­dentalnom“ smislu.

S druge strane, jedno od njegovih bitnih postignuća sastoji se u tome što se on ponovo prihvata problema s kojim se filozofija matematike neprestano bori otkad joj je Dekart dao nove temeljeni u tome što taj problem dovodi do konačnog rešenja. Dekart razli­kuje dva osnovna izvora matematičke izvesnosti  intuiciju i deduk­ciju. Prvi daje principe koji nisu ni podobni za dalje zasnivanje niti im je ono potrebno, pošto im neposrednu jasnoću daje „svetlost uma“. Ova svetlost ne dopušta nikakvo smanjenje ni zatamnjenje: to što ona uopšte obuhvata obuhvaćeno je u celini i nepodeljeno, bezuslovno jasno i sigurno. Ali stvari stoje sasvim drukčije sa onim stavovima koji nisu očevidni sami od sebe, nego se tek posrednim dokaznim postupkom izvode iz aksioma, evidentnih po sebi. Tu je mišljenje prinuđeno da postupa čisto „diskurzivno“: ono ne obu­hvata jednim pogledom ideje koje povezuje, nego ih spaja većim ili manjim brojem međučlanova, koje uvodi između njih. A pošto se ti međučlanovi nikada u istinskom jedinstvu, nikada „ujedno“ ne otkrivaju duhu nego on može da napreduje samo sukcesivno, od jednog do drugog, u tom sukcesivnom procesu duh je izložen onoj nesigurnosti koja je vezana za svekoliko postanje. Napredujući od jednog člana dokaza do sledećeg, on ne srne da izgubi iz vida te, prethodne članove, nego ih mora reprodukovati, a – s druge strane – nikad ne može biti sasvim siguran u tačnost te reprodukci­je. Umesto na izvesnost intuicije, sad je upućen na sigurnost i vernost pamćenja, ali je time prepušten takvoj funkciji saznanja koja je, u načelu, podložna svakoj sumnji. Dekartova metodska sumnja krunisana je propisom da se ne veruje ni u jednu sposobnost duha, ako smo makar jednom iskusili da nas on može dovesti u zablude i navesti na pogrešne zaključke: ali koja bi sposobnost mogla biti više podložna takvim pogrešnim zaključcima od same čisto repro­duktivne izvesnosti, od izvesnosti sećanja? Tako, sada preti opa­snost da dedukcija, a time i srž matematičkog dokaznog postupka, jednom zauvek bude prepuštena skepsi. Tu započinje ona Kartezijusova fikcija „zlog demona“ koja bi nas mogla obmanuti i zavesti i u prividno najsigurnijim zaključcima. Čak i pored formalno valja­ne primene svih pravila mišljenja, uvek postoji mogućnost da se sadržaji mišljenja neopaženo preinačavaju i da nam se, tako reći, u rukama zamenjuju, umesto da se ponavljaju u identičnoj određe­nosti. Poznato je da za Dekarta nema saznajnoteorijskog, nego još samo metafizičkog izlaza iz tog lavirinta: pozivanje na „istinoljub­lje božje“ nužno pre guši sumnju nego što je istinski otklanja i raspršava. Ali baš na toj tački započinje Lajbnicovo usavršavanje tehnike i metodologije matematičkog dokaza. I čisto istorijski možemo pratiti kako je Dekartova skepsa prema sigurnosti deduktivnog postupka postala stvarno pokretačka i pogonska snaga Lajbnicove „teorije dokaza“. Da bi matematički dokaz bio istinski važeći, da bi bio stvarno ubedljiv, nužno ga je izvući iz sfere puke izvesnosti sećanja i izdići iznad nje. Na mesto sukcesije misaonih koraka, mora doći čista simultanost pregleda. To može postići samo simboličko mišljenje. Njegova priroda se odlikuje baš time što ono ne operiše samim sadržajima mišljenja, nego sa svakim sadržajem mišljenja povezuje jedan određen znak, pa tim povezi­vanjem postiže to da se svi članovi jednog kompleksnog lanca do­kaza koncentrišu u jednu jedinu formulu i, kao raščlanjena celina, obuhvataju jednim pogledom. Ova osnovna misao Lajbnicove karakteristike vaskrsla je u Hilbertovom „formalizovanja“ logič­kih i matematičkih procesa zaključivanja i tek sada je, zahvaljujući proširivanju oblasti matematike i izvanrednom usavršavanju i produbljivanju njenih pojmovnih sredstava, sazrela za stvarno sprovođenje. Na osnovu ovoga se može razumeti zašto Hilbert nagla­šava samo to da objekti na koje se odnose matematička zaključi­vanja moraju biti takvi da im se mogu potpuno sagledati svi delovi i da se uopšte i sigurno daju prepoznati. Ne stvari, nego znaci omogućavaju takvu „rekogniciju“ i time, u principu, oslobađaju mišljenje od opasnosti i dvosmislenosti puke reprodukcije.

„Idealni elementi“ i njihova uloga u zasnivanju matematike

Ako sada napustimo teoriju matematičkog dokaza i opet se okre­nemo predmetnom području matematike, pa postavimo pitanje misaonih snaga koje su se pokazale efikasne u zasnivanju tog područja, tu će se kao metodološki važni osnovni motivi istaći naročito razvoj graničnog pojma i teorija „idealnih elemenata“. Što se tiče graničnog pojma, i on spada u one fundamentalne poj­move koji se, pre nego što uđu u oblast nauke, otkrivaju u sferi filo­zofskog mišljenja i u njoj dobijaju prvo određenje. U filozofiji pitagorejaca javljaju se kao pojmovi istog značenja broj i granica. Ukoliko se tu uopšte može govoriti o nečem „ranijem“ ili „kasni­jem“, nužno je granici dati logički i metafizički primat nad brojem. Broj dobij a u pitagorejskom sistemu odlučujuće mesto i osnovno značenje tek zahvaljujući tome što predstavlja samo ispunjivost onog postulata koji se iskazuje u pojmu granice. „Granica“ i „neograničeno“, Jtegag i arceioov, dva su pola bivstva i dva pola znanja. Ali moć broja nad bivstvom zasnovana je time što on podiže most između njih. Ulazeći u poredak broja, to što je neodre­đeno i beskonačno pokorava se sili oblika. Iz te sinteze nastaje i u njoj se sastoji sva harmonija vasione. Kod pitagorejaca ta izvesnost ove harmonije ne podleže nikakvoj sumnji: štaviše, ona je prafakt, na kojem se zasniva svekoliko filozofsko i svekoliko matematičko saznanje. Ali u suštini samog filozofskog saznanja leži nemoguć­nost da se ono trajno oslanja na taj fakt, a da se baš time i samo ne pretvori u problem. Do tog pretvaranja došlo je kod Platona. I za njega granica i ono neograničeno predstavljaju dva osnovna odre­đenja oko kojih se obrće celo njegovo mišljenje. U delima iz njegove pozne starosti par suprotnosti …. označava se kao izvorište svega „logičkoga“, kao večiti i besmrtni „patos pojma“. Ali sada se bitno zaoštrio zategnuti odnos između dva suprotna pola. Suprotnost između „određenja“ i „neodređenoga“ sad sadrži i drugu suprotnost, onu koja, po osnovnom Platonovom učenju, postoji između sveta ideje i sveta pojava. Između ta dva sveta nikad nije moguća neka prava „harmonija“ u strogom smislu te reči: smi­sao ideje je baš u tome da ne može biti data nikakva pojava koja s njom „kongruira“ stvarno striktno. Dakle, odnos među njima stalno uključuje nužnu distancu između njih, njihovu principijelnu „drukčijost“. I nikakav „udeo“ pojave u ideji ne može da premosti tu provaliju, ne može da potre momenat one trepoTng. Iz te prasuprotnosti stalno iznova proizlazi za Platona suprotnost Između sveta znanja, i sveta empirijskog bivstvovanja. Svekoliko znanje je svojim oblikom i svojom suštinom usmereno ka određenju, dok je svekoliko bivstvovanje kao takvo prepušteno i izloženo neodređe­nosti: dok se tamo misao smiruje u čvrstom i konačnom bivstvu, ovde vlada reka postanja koja se nikad ne može zaustaviti ni zaja-ziti strogim granicama.

Istorijski je značajno i sistematski znamenito pitanje kako je ovo Platonovo opredeljenje vekovima ne samo dominiralo postav­ljanjem problema metafizike, nego se njegov uticaj neprestano osećao i u okviru naučne matematike. Još u 19. veku Pol di Boa-Rejmon je u svojoj Opštoj teoriji funkcija postavio pitanje istine matematičkih predmeta skoro sasvim u Platonovom smislu. Ali nije se usudio da na to pitanje da neki konačan i jednoznačan odgovor, nego je dopu­stio izbor između dva međusobno suprotna osnovna pravca razma­tranja, između „idealizma“ i „empirizma“. Po njemu, prvi put je put „transcendencije“, a drugi je put „imanencije“. Empirizam vidi u broju sredstvo određenja; ali on u tom određenju ne ide dalje nego što to dopušta priroda empirijskih objekata. Za njega ono uvek ostaje vezano za granice koje su postavljene svakom faktič­kom, svakom konkretnom merenju. Proces merenja se može uobličavati sve savršenije i preciznije, ali zato ne i preko svih gra­nica, u okviru kojih je još moguće neko intuitivno razlikovan^ produžavati, a da se tako ne izgubi njegov shvatljivi „smisao“. Nasuprot tome, „idealista“ polazi od shvatanja i definicije mate matičkog „smisla“, kojima se ovaj objašnjava kao načelno nezavi san od svih uslova empirjskog osvedočavanja. Za njega je neka tvo revina, kao beskonačan, ne-periodičan decimalan razlomak, ne sa­mo određena do onog stepena koji je svagde dostiglo stvarno „izračunavanje“ njene vrednosti, nego joj on, povrh toga, pripisuje jednu opštu i potpunu objektivnu određenost, jedno bivstvo ,,po sebi“. Suprotnost koja je time postavljena, ukoliko je uopšte odredljiva, po teoriji Di Boa-Rejmona više sigurno nije podobna za neko čisto matematičko opredeljenje: ona spada u oblast u kojoj poslednju reč više ne može imati matematičko znanje, nego filozof­ska „vera“. Koliko god nam ovaj sud na prvi pogled izgledao čudan i paradoksalan, njega ipak uveliko potvrđuje razvojni tok teorije matematičkog saznanja u ovim poslednjim decenijama. Još uvek je, u pitanju istine i važenja „idealnih elemenata“, matemati­ka podeljena na dva tabora, na „nominalističko“ i na „realističko“ shvatanje, a sve dosada nema putokaza za opredeljivanje između to dvoje na osnovu čistih matematičkih kriterij uma. Neki istaknuti istraživači govore tako kao da je reč o pitanju na koje se odgovor može dobiti samo na osnovu etičke savesti matematičara i na osno­vu njegovog „pogleda na svet“, umesto na osnovu logičke savesti matematike. S druge strane, ovo pomeranje težišta pitanja mate­matičke istine postaje, sa gledišta kritike saznanja, utoliko sumnji­vije ukoliko više prostora i veći značaj dobijaju „idealni elementi“ u strukturi moderne matematike. Razume se, nisu nedostajali pokušaji da se oni ograniče, čak da se potpuno suzbiju. Poznate su Kronekerove reči da je bog stvorio ceo broj, a da je sve ostalo samo čovečje delo. A ipak, ako se prati razvitak matematičkog mišljenja od antike do sadašnjosti, baš ovom „čovečjem delu“ to mišljenje može da zahvali za svoje najveće trijumfe. U takvoj prob­lematičnoj situaciji morala se stalno javljati želja da se idealni ele­menti, čija su upotreba i korisnost bili neosporni, obezbede i u samom svom logičkom temelju i da nađu uporište u poslednjim osnovama matematičkog mišljenja.

Tako je u novije vreme naročito Hilbert najviše naglašavao da stvarno spro vođen je teorije matematike nikad nije moguće ako se ne opredelimo za to da se „finitnim“ iskazima matematike „adjun-giraju“ „idealni“ iskazi. Za matematičara je sasvim opravdano takvo „adjungiranje“, ukoliko može da pokaže da novi predmeti koje prihvata slede iste one formalne zakone povezivanja koji su već konstatovani kod starih predmeta i ako, dalje, uspe da dokaže da primanjem tih novih idealnih elemenata nikad ne mogu nastati protivrečnosti u staroj užoj oblasti; dakle, da su u staroj oblasti uvek važeći oni odnosi koji se prilikom eliminacije idealnih tvore­vina ispoljavaju kod starih tvorevina.  Ali filozofska kritika sazna­nja tu će morati da postavi još i drugi i stroži zahtev. Ona se ne može zadovoljiti time što će se novi elementi pokazati ravnopravni sa starima utoliko što će s njima ulaziti u neku neprotivrečnu vezu, pa će prosto stajati naporedo s njima i potvrđivati se u toj naporedosti. Ta čisto formalna spojivost sama za sebe još ne bi mogla da zajamči neko stvarno unutrašnje stapanje, neku u sebi homogenu logičku strukturu matematike. Štaviše, takva se struktura uspo­stavlja i obezbeđuje tek kad se pokaže da se novi elementi ne „adjungiraju“ prosto starima kao tvorevine druge vrste i porekla, nego predstavljaju sistematsko-nužan razvoj tih starih elemenata. A dokaz da ta povezanost postoji postiže se, opet, samo posred­stvom dokaza da su ti novi i stari elementi, u neku ruku, logički prasrodni: tako da novi elementi ne dodaju onima starijima ništa drugo osim onoga što je već sadržano u njihovom prvobitnom smi­slu i njime implicitno obuhvaćeno. Mora se očekivati da će oni, umesto da načelno menjaju taj smisao i zamenjuju ga nečim dru­gim, tek i dovesti do njegovog svestranog razvitka i do potpune jasnoće. I, ako se ponaosob posmatra osobenost „idealnih elemena­ta“, takvih kakvi su se uzastopno javljali u istoriji matematike, videće se da to očekivanje nigde nije ostalo neispunjeno. Svaki korak kojim je proširivana oblast matematike, krug njenih pred­meta, ujedno je uvek i korak na putu ka njenom dubljem principi­jelnom zasnivanju, ka njenom dubljem utemeljivanju. Samo zato što se i ukoliko se oba pravca razmatranja uzajamno potkrepljuju, unutrašnju povezanost matematičke sfere ne ugrožava, nego je čak sve vidnije i strože potvrđuje, stalni porast njenih tvorevina. Tu je svako novo širenje, svako ekstenziviranje ravno logičkom intenzi­viranju. To već jednom obezbeđeno postojeće ne širi se samo po površini, nego se u svakoj novoj sferi predmeta sve više učvršćuje i radikalno utemeljuje ono ukupno postojeće, matematička „istina“ kao takva. Sa tog gledišta se mora, u krajnjoj liniji, odrediti odlučujući učinak tih „idealnih elemenata“ i sa njega taj učinak valja i pojmiti i opravdati. A tako na ovoj tački dolazi do neobičnog obrta u zadatku kritike saznanja. Preciznije posmatrano, sada se taj zadatak više ne sastoji u svođenju novih elemenata na stare i u njihovom „objašnjavanju“ na osnovu tih starih elemenata, nego, naprotiv, u korišćenju toga novoga kao misaonog posredovanja, koje omogućava da se tek istinski shvati pravi značaj onoga staro­ga, da se spozna ono samo, prethodno nedostignuta opštost i dubi­na njegove suštine. U tom se smislu može reći da logički put mate­matike nije put kojim valja izvojevati pravo za same idealne elemente i prostor za njih pored onih drugih, nego da matematika u njima tek i postiže pravi cilj svog formiranja pojmova, pa kritički spoznaje šta je zapravo to formiranje pojmova i za šta je ono kadro. Cak i ako se pretpostavi da je „ratio essendi“ idealnih tvorevina nužno tražiti u sferi starih tvorevina, „ratio cognoscendi“ tih starih tvorevina, ipak, leži u idealnim elementima. Ove znače otkrivanje jednog prasloja matematičkog mišljenja, u kojem leže koreni ne samo ove ili one individualne oblasti matematičkih objekata nego i misaonog postupka samog matematičkog objektiviranja. U postav­ljanju idealnih elemenata taj postupak se ne odvija nekim apsolut­no novim putem; on se, pre, samo oslobađa izvesnih „slučajnih“ barijera kojima je na početku još bio sputan, pa tek i postaje istin­ski svestan sve svoje snage i širine.

Taj karakteristični proces odvajanja, logičke emancipacije, možemo pratiti u svim pojedinačnim oblastima u kojima se poka­zalo značajnim to uvođenje idealnih elemenata. Mišljenje pri tom nije prezalo od kretanja kroz ono što je prividno „nemoguće“: jer samo kroz njega je moglo steći odista slobodan i svestran pregled svojih vlastitih, u njemu samom najpre zatvorenih mogućnosti otkrivanje „imaginarnoga“ u matematici i razni pokušaji da se ono logički opravda, predstavljaju klasičan prirner tog osnovnog prav­ca matematičkog mišljenja. Gde god se to prvi put pojavi u istoriji matematike, to imaginarno izgleda kao tuđinac i uljez; ali taj tuđinac ne samo da postepeno dobij a puno pravo građanstva, nego se posredstvom njega sad tek i stiče mnogo dublje znanje o principi­ma i o temeljima ustrojstva matematičke sfere. Tako je Herman Grasman, upotrebljavajući brojeve s proizvoljnim mnoštvom jedi­nica, stvorio nov pojam geometrije kao odista oplteg „učenja o dimenziji“. S druge strane, pokazalo se da je tek uvođenjem imagi­narnih veličina postalo dostupno jedno stvarno sistematizovanje algebre: tek posle tog uvođenja omogućeno je strogo izvođenje dokaza „fundamentalnog stava algebre“. Logički probni kamen za opravdavanje novog elementa leži u svim tim slučajevima u tome sto nova dimenzija posmatranja, u koju zajedno s njim ulazimo, ne čini manje dostupnim odnose koji važe u okviru ranije dimenzije, nego bitno izoštrava uvid u njih. Tek zahvaljujući svom osvrtu sa tek otvorenog područja na staro područje, uspevamo da misaono obuhvatimo ceo obim tog starog područja i da spoznamo i razumemo njegove finije strukturne oblike. Tako je pojam kompleksnog broja doveo do otkrića čitavog obilja dotad nepoznatih odnosa između „realnih“ veličina i do potvrđivanja njihove stvarne opštosti. Dakle, taj pojam je ne samo otvorio jedno novo matema­tičko predmetno područje nego je dao i novu duhovnu „perspekti­vu“ koja je sasvim drukčije nego dotada učinila saznatljivom i vidljivom zakonitost realnih brojeva. Tu se, u okviru matematike, potvrđuju Geteove reči da, ako valjano pogledamo, svaki novi predmet u nama istovremeno otvara jedan nov organ vida. Na isti je način, na primer, delovalo Kumerovo otkriće idealnih brojeva u teoriji brojeva. Između celih algebarskih brojeva sada su se pojavili određeni zakoni deljivosti iznenađujuće prostog oblika, posred­stvom kojih su se brojčane tvorevine, kakve, na prvi pogled, nisu bile ni u kakvom unutrašnjem „srodstvu“, ipak, spajale u ideelne celine, u određena „brojčana tela“. I dalje se pokazalo da učenje o deljivosti celih brojeva, kakvo je ovde zasnovano, nije ostalo ograničeno na to prvobitno polje primene, nego da ga je moguće skoro u celini preneti na jednu širu oblast, na učenje o racionalnim funkcijama. Tako se pokazuje da je uvođenje idealnih elemenata svuda u istoriji matematike „potvrđeno faktom“. Naravno, kritika saznanja se ne može zaustaviti na samom tom faktu već mora postaviti pitanje mogućnosti tog fakta. Odnos koji se ovde otkriva u povezanosti raznih matematičkih predmetnih područja nije nimalo prost i već na prvi pogled saglediv. To što se u matematici novi predmeti ne javljaju prosto pored starih, nego suštinski menjaju i preobličavaju aspekt tih starih, daju im drugi oblik saznanja, – to jeste i ostaje osoben intelektualan fenomen koji možemo protumačiti i objasniti samo ako se vratimo prvobitnom motivu matematičkog formiranja predmeta.

U stvari, ključ za pravo razumevanje takozvnaih „idealnih“ tvorevina valja potražiti baš u tome što taj idealitet ne počinje tek kod njih nego se u njima samo ispoljava pregnantno oštro i posebno energično. Nema nijednog istinski matematičkog pojma koji se od­nosi prosto na prethodno date ili zatečene predmete, nego svaki već mora sadržavati princip „sintetičkog proizvođenja“, da bi na­šao mesto u sferi matematičkoga uopšte. Tu uvek postavljanje pret­hodi jednoj opštoj relaciji i iz njegovog svestranog sprvođenja tek se razvija, u smislu „genetičke definicije“, svagdašnje predmetno područje. Zato je uvođenje makar i najsloženijih idealnih tvorevi­na, u osnovi, samo nastavak onoga što je već započeto i anticipira­no u prvim „elementima“ matematike. I Hilbert ukazuje na to da je razvojni put metode, kojoj idealne tvorevine mogu zahvaliti za svoj nastanak, moguće slediti unazad sve do elementarne geometrije. 1 tamo i ovde se zahteva isti, u principu nepromenljm, logički akt mišljenja. On se sastoji u tome što se mnoštvo mogućih veza spaja u jedan jedini „predmet“ i reprezentuje tim predmetom. Bez takve idealne reprezentacije nije moguć nijedan, makar i najprostiji matematički objekt. Stoga je „idealne“ tvorevine, u specifičnom smislu reči, moguće svagde nazvati „predmetima višeg reda“, ali oni nikada nisu nekim jazom odvojeni od „elementarnih“ pred­meta. I u jednima i u drugima odražava se jedan-isti postupak; razlika je samo u tome što se u idealnim elementima taj postupak ispoljava, tako reći, kao ekstrakt, u svojoj čistoj kvintesenciji. Zar se već nije kod „najprostijeg“ mogućeg predmeta čiste matematike, zar se već nije kod strukture „niza prirodnih brojeva“ sređujuća relacija pokazala kao nešto prvo, a ono što je u njoj i na osnovu nje sređeno kao nešto drugo i izvedeno? Ako smo to već uvideli, ništa nas ne može sprečiti da tu sređujuću relaciju primenimo i izvan oblasti u kojoj se ona najpre potvrdila. Tad će se pokazati da se njen značaj, njena stvaralačka energija ne sadrži bez ostatka u njenom postignuću niti u njemu propada. Postupak na kojem, u krajnjoj liniji, počiva formiranje broja ne iscrpljuje se u prostoj tvorevini celih brojeva, mada ona sama već predstavlja beskrajan i beskrajno-mnogostruk sklop. Naprotiv, svaki novi sistem veza, koji se zatiče u ovom sklopu tj. koji se izvodi iz one proizvodne prarelacije, može opet postati polazna tačka nove postavke, pa i čitave grupe takvih postavki. Predmet tu ne podleže nikakvim drugim uslovima osim uslovima same matematičke sinteze: on jeste i postoji ukoliko matematička sinteza važi. A o tom važenju ne odlučuje nikakva spoljašnja, nikakva transcendentna „stvar­nost“ stvari, nego jedino imanentna logika samih matematičkih relacija. Time smo obuhvatili onaj prost princip na koji se može svesti važenje i istina svih idealnih elemenata. Dok se već elemen­tarne matematičke tvorevine, prosti aritmetički brojevi, kao i tačke i prave u geometriji, ne mogu smatrati pojedinačnim „stvari­ma“ nego uvek samo članovima jednog sistema relacija, idealne tvorevine čine, u neku ruku, „sisteme sistema“. One nisu satkane od neke misaone materije različite od pomenutih elementarnih predmeta, nego se od ovih razlikuju samo po načinu na koji su isprepletene, po svojoj savršenijoj pojmovnoj složenosti. Prema tome, sudove koje donosimo o idealnim elementima uvek možemo formulisati tako da se oni daju preobratiti ponovo u sudove u okvi­ru one prve klase predmeta: samo što sada kao subjekti tih sudova više ne fungiraju pojedinačni predmeti, nego njihove grupe i celine. Tako, na primer, umesto da „iracionalan broj“ shvatamo uvek kao jednu prostu, za sebe postojeću i za sebe određenu matematičku „stvar“, mi ga možemo definisati u smislu poznatog Dedekindovog izvođenja kao „rez“, kao potpunu podelu sistema racionalnih bro­jeva, pri čemu se taj sistem pretpostavlja kao celina i kao celina ulazi u objašnjenje iracionalnog broja. Do „proširenja“ prvobitnog područja broja tada ne dolazi u tom smislu što se ranijim indivi­duama dodaju druge i nove, nego tako što se, umesto s tim indivi­duama, računa s beskonačnim raznolikostima, sa segmentima broja, pa ti segmenti konstituišu nov pojam „realnog broja“.Uopšte uzev, ispada da se svaka „nova“ vrsta brojeva, koju matematičko mišljenje prinudno formira, svagda može definisati pomoću sistema brojeva neke ranije vrste, pa i u upotrebi zameniti tim sistemom. To se vidi već prilikom uvođenja razlomka: jer, kao što je naglašavao poimence Ž. Taneri, razlomak se ne može proglasiti za spoj jednakih „delova jedinica“, pošto numerička jedinica kao takva ne dopušta deljenje i rasparčavanje, nego ga valja shvatati kao skup (emsemble) dva cela broja koja međusobno stoje u određenom poretku. Takvi „skupovi“ čine neku vrstu matematičkih predmeta, za koje se može definisati jednakost, ono što je veće ili manje, kao i pojedine aritmetičke operacije sabiranja, oduzimanja itd. Na tom istom principu počiva i uvođenje idealnih elemenata u geometriju. U Štautovoj Geometriji položaja to uvo­đenje „nepravih“ elemenata izvodi se tako što se prvo na jednom jatu paralelnih pravih istakne jedan momenat, podudaran za sve pojedinačne tvorevine koje pripadaju tom jatu, pa se oliđij taj momenat fiksira kao njihov zajednički „pravac“. Isto ovako se svim međusobno paralelnim nivoima pripisuje jedna identična osobina, jedan zajednički „položaj“. Zatim se pojam formira tako što se uzima da je jedna prava sasvim određena ne samo dvema tačkama nego i jednom tačkom i jednim pravcem, jednim nivoom, umesto trima tačkama, a i dvema tačkama i jednim pravcem, jed­nom tačkom i dvama pravcima ili, najzad, jednom tačkom i jednim položajem. Tako Štaut dolazi do tvrdnje da postoji logička ekviva­lentnost jednog pravca s jednom tačkom, jednog položaja s jednom pravom. Prema tome, ni ovde nije nužno uvesti „neprave“ ele­mente kao individue koje pored „pravih“ tačaka treba da „egzi­stiraju“ nekako tajanstveno, nego sve što se o njima iskazuje, što se u smislu logički i matematički značajne istine može tvrditi o njima, samo je postojanje onih veza koje oni u sebi ovaploćuju i izraža­vaju. Naravno, simboličko mišljenje matematike ne zadovoljava se samo in abstracto shvatanjem tih veza, nego zahteva i stvara jedan određeni znak za logičko-matematičko stanje stvari koje postoji u njima, pa sam taj znak, opet, tretira kao punovažan, kao legitiman matematički predmet. Pravo na to preokretanje ne dolazi u pitanje ukoliko se setimo da od početka „predmeti“ matematike nisu izraz nečeg stvarstvenog, nečeg supstancijalno postojećeg, nego da teže da budu i mogu da budu samo izrazi funkcije, „znaci poretka“. Zato, svako napredovanje ka novim, ka složenijim vezama tog poretka stvara, u osnovi, jednu novu vrstu matematičkih „predme­ta“, koji sa onima starima nisu povezani nekom intuitivnom „sličnošću“ ni posedovanjem jednog zajedničkog „obeležja“, na kakvo se može kao na izolovano ukazati, nego su s njima logički srodni i istovrsni utoliko što su građeni i sazdani po suštinski istovrsnom misaonom principu. Međutim, ne može se ni tražiti ni očekivati neka drukčija i dublja „istovrsnost“, neka stroža „homo­genost“: jer „vrsta“ svakog matematičkog predmeta nije pouzdano utvrđena pre principa njegovog proizvođenja po sebi, nego se odre­đuje tek proizvodnom relacijom na kojoj on počiva.

Sama činjenica da je uopšte moguća jedna takva koncentraci­ja, takvo sabijanje celog sistema matematičkih iskaza u jednu tačku, spada u najkorisnije, čak u stvarno presudne momente formiranja matematičkih pojmova i teorija uopšte. Tek zahvaljuju­ći njoj matematička metoda je uspela da ovlada obiljem obličja, koje je proizvela od svoje vlastite osnove, i da izdrži pritisak njiho­ve sve veće raznolikosti i bogatstva. Sad više nije potrebno da ona to obilje razvodnjava u nekakvu nejasnu generičku opštost; napro­tiv, sad mu se predaje kao konkretnoj celovitosti i konkretnoj odredjenosti, pošto je sigurna da ga baš u toj konkretnosti može savla­dati i prodreti u njega. Nijedna nauka koja oblast svojih predmeta ne stvara sintetički i konstruktivno, nego te predmete nekako empirijski „zatiče“, ne može raznovrsnost svojih objekata uneti u žižu svoje metode, ukoliko kroz nju, tako reći, ne prođe korak po korak. Ona mora dokučiti tu raznovrsnost takvu kakva se nepo­sredno nudi empirijskom znanju; mora nizati opažanje za opaža­njem, posmatranje za posmatranjem, pri čemu se, doduše, stalno zahteva spajanje svih tih pojedinosti u jednu sistematsku celinu, ali sam taj zahtev ostaje misaona anticipacija, neka vrsta petitio principii. Svaki nov aspekt empirijskog istraživanja otkriva jednu novu „stranu“ predmeta. Usmerenost ka celini (koja se i tu uvek mora sačuvati ukoliko se empirijsko mišljenje ne shvata kao puko opipavanje nego kao mišljenje, kao funkcija zahtevanja jedinstva i postavljanja jedinstva) pokazuje se u tome što se pojedini delovi na kraju „dopunjavaju“ u neku ukupnu sliku, samo što to dopunja­vanje tu uvek ostaje čisto privremeno. Ipak, tu nam se daje „komad u komadima“: jer mišljenje ne polazi od prvobitnog dokučavanja neke celine, da bi je zatim razudilo u pojedinačna određenja, nego pokušava da malo-pomalo izgradi jednu celinu, prilagođavajući se pojedmačnim empirijskim datostima. Ni matematika ne bi bila sintetički-progresivna nauka kad bi pred njom od početka ležalo sve ono što ona poseduje, i to kao gotovo i jednim pogledom sagledivo. I njeno intelektualno napredovanje sastoji se u stalnom pro­diranju u nove, dotle nepoznate i nedostupne oblasti. Sa svakim novim instrumentom mišljenja, koji ona sebi stvara, otkrivaju joj se nova određenja njenog predmetnog područja. Tako ni u njoj njgde nije reč o pukom razlaganju, o analitičkom „raščlanjavanju“ poznatoga, nego o pravom otkrivanju. A ipak, baš samo to otkriva­nje tu ima jednu osobenu metodsku crtu. Put ne vodi prosto od određenih, jednom zauvek utvrđenih početaka do sve raznovrsnijih i bogatijih zaključaka, nego svaka nova oblast, otkrivena i osvoje­na na tim počecima, prikazuje u drukčijem i novom svetlu same te početke. Napredovanje mišljenja tu stalno sadrži i vlastiti obrt: ono je istovremeno i vraćanje u sebe. Postojanje i smisao, intelek­tualna sadržina matematičkih „principa“ potpuno se ispoljavaju tek u učinku tih principa, tako da svako obogaćivanje tog učinka uvek ujedno otkriva i novu dubinu samih tih principa.

Tako se može reći da ukupno proširivanje pojma broja u toku istorije matematičkog mišljenja, prelaz sa celog broja na razlomak, sa racionalnog broja na iracionalan broj, sa realnog broja na imaginaran broj, nikako ne počiva na nekom samo proizvoljnom „uopštavanju“, nego se tu eksplicira „suština“ samog broja i sve dublje se zahvata njena objektivna opštost. Kao što je Heraklit rekao da su u fizisu, u dejstvujućoj prirodi, „put naviše“ i put naniže“ isti, tako su u idealnom pojmovnom svetu matematike put ka periferiji i put ka centru jednaki. Tu nema pravog takmičenja i sukoba između centripetalne i centrifugalne tendencije mišljenja, I nego se obe uzajamno zahtevaju i uzajamno unapređuju. I u ovom duhovnom spoju toga polarno suprotnoga leži pravi, saznajno- kritičko-značajni učinak „idealnih elemenata“ matematike. Oni nisu novi elementi nego su, naprotiv nove sinteze. Klatno matema­tičkog mišljenja izvodi, tako reći, dvojako kretanje: kreće se ka relaciji i kreće se ka „predmetu“. To mišljenje stalno svodi svekoli­ko bivstvo na čiste relacije, ali, s druge strane, ono takođe stalno iznova spaja totalitet relacija u pojam jednog bivstva. To važi ne samo za klase objekata s kojima ima posla matematika, nego važi i za njene pojedinačne discipline. Uvek se pokazuje da uvođenje novog, odista korisnog idealnog elementa u okviru matematike ima za posledicu jedan sasvim nov odnos među tim disciplinama i njihovu tešnju i dublju povezanost. Tada se pokazuje da je njihova kruta razdvojenost, da je njihova podvojenost po objekti­ma, koji su međusobno suprotstavljeni kao relativno tuđi, privid: ideja „mathesis universalis“ trijumf uje nad svim pokušajima rasparčavanja te celine i njenog razlaganja na čisto delimične oblasti. Setimo se samo jednog bitnog primer a: dubljim saznanjem onoga imaginarnoga ne samo da je pojedinačno matematičko istraživanje postalo veoma plodno, nego je time uklonjena ona pregrada koja je otežavala i sputavala uvid u sistematske povezanosti pojedinačnih oblasti. To imaginarno se nije zaustavilo ni pred jednom od tih pojedinačnih oblasti nego je u sve njih prodrlo novim oblikom mišljenja koji je ono sadržavalo. Njegova prva istorijska primena je još bila ograničena na aritmetiku i algebru, naročito na učenje o jednačinama: posle Košija ono je zauvek uključeno u logički inventar algebarske analize. Ali, njegov razvitak se tu nije zausta­vio. U Ponsleovoj strukturi projektivne geometrije to imaginarno je već osvojilo učenje o prostoru i dalo sasvim nov vid geometrij­skog posmatranja. I tu ono više nikako nije samo uzgredno ih spoljašnje delo, nego se svesno stavlja u centar formiranja geome­trijskih pojmova: Ponsle zasniva svoju upotrebu imaginarnoga na jednom sasvim opštem principu, koji definiše kao princip „permanencije matematičkih relacija“. Ali najveći trijumf imagionarnoga predstavlja njegov nezadrživi prodor i u fiziku, u teoriju „sazna­nja stvarnosti“: jer i u njoj se pokazuje da je upotreba funkcija kompleksnih promenljivih neophodno pomoćno sredstvo mate­matičkog određenja. Sada se razni sadržaji i razne oblasti matema­tičkog znanja povezuju sasvim novom sponom: na mesto njihovog manje-više proizvoljnog razdvajanja dolazi odnos uzajamnog rasvetljavanja, koji ne samo da njih prikazuje u njpom svetlu, nego i omogućava da se „apsolutna“ priroda matematičkog elementa kao takva, što prethodi i leži u osnovi svih njegovih posebljenja, shvati u strožem i dubljem smislu.

Svakome ko se drži ovog saznanja u korenu je sasečen svaki „funkcionalizam“ u ocenjivanju i vrednovanju idealnih elemenata. Srž njihove objektivnosti više se ne može tražiti u datim pojedi­načnim sadržajima koji im odgovaraju, nego samo u jednom čisto sistematskom postojanju: u istini i u važenju jednog određenog kompleksa relacija. Ako je ta istina pouzdana, time je data jedina moguća objektivna osnova za njih: neku drugu osnovu za njih ne samo da ne možemo naći, nego nema ni smisla niti je opravdano tragati za njom. Smisao idealnih elemenata nikad se ne može otkri­ti u pojedinim „predstavama“ koje se odnose na neki konkretan, ifituitivno-dokučiv objekt, nego ga valja uvek otkrivati i shvatati samo u kompleksnom sklopu sudova. Naravno, oblik matematič­kog objektiviran ja povlači za sobom to da sam taj sklop sad postaje predmet i tretira se kao predmet, ali se time ne ruši stroga pregrada između njega i empirijskih „stvari“, nego odoleva i dalje. Ta pregrada nije podignuta u oblasti matematičkoga tako da u njoj odvaja sferu „nepravih“ od sfere „pravih“ tvorevina, nego razdva­ja celinu matematičkog sveta od sveta empirijskih stvari. Stoga se valja opredeliti: ili svemu što je matematičko udariti pečat fikcije, ili mu, sve do njegovih najviših i „najapstraktnijih“ postavki, na­čelno priznati jednaku istinu i važenje. Zato ta podela na prave i neprave, na tobože „realne“ i tobože „fiktivne“ elemente, uvek ostaje polovičnost koja bi, ako se shvati ozbiljno, nužno razorila metodsko jedinstvo matematike. S druge strane, baš ta metodska jednakost stalno se iznova potvrđuje i jamči postavljanjem idealnih elemenata i položajem koji oni dobijaju u celini matemati­ke. To smo ranije mogli pratiti u slučaju uvođenja imaginarnih *ehčina; ali one predstavljaju samo jednu paradigmu, jedan pojedinačan primer za mnogo opštije stanje stvari. Kad god se matematičko mišljenje – većinom posle dugih priprema i mnogih opreznih pokušaja – odluči da jedan bogat pojam relacija (koji je ono prethodno ponaosob posmatralo i ispitale) sažme u jednu duhovnu žižu i označi jednim simbolom, posredstvom tog osnovnog intelektualno-simboličkog akta spaja se i ono što je prethodno bilo veoma udaljeno, pa i prividno nepovezano, u jednu celinu, u takvu celinu koja najpre obično nije ništa drugo već celina jednog problema, ali već kao takva sadrži jamstvo za buduće rešenje.

Iz takvog je logičkog procesa iznikla, kao njegov najzreliji plod, analiza beskonačnoga. Ni Njutnovo otkriće računa fluksije, ni Lajbnicovo otkriće infinitezimalnog računa nije pridodalo neku sasvim novu sadržinsku crtu kompleksu matematičkih problema njihovog doba. Čak je odlučujući pojam fluksije, kao i pojam dife­rencijala i deferencijalnih kvocijenata bio do kraja pripremljen u toku prethodnog razvitka. On se već potvrdio u najrazličnijim oblastima – u Galilejevom zasnivanju dinamike, u učenju o ma mumima i minimumima kod Ferma, u teoriji beskonačnih nizovi takozvanom „obrnutom problemu tangenata“ itd. – pre nego što je svuda spoznat i svuda fiksiran. Njutnov znak x i Lajbnicov znak

dy

— pre svega samo obavljaju to fiksiranje: oni označavaju jednu

dx

zajedničku usmernu tačku za istraživanja koja su se prethodno odvijala odvojenim putevima. U trenutku kad je ta usmerna tačka već određena i fiksirana u jednom simbolu dolazilo je, u neku ruku, do kristalizacije problema: oni su se sa svih strana sticali u jedan logičko-matematički oblik. I opet simbol tu pokazuje onu snagu koju smo kod njega otkrivali uvek i svuda, na najrazličnijim područjima, od mita do jezika i do teorijskog saznanja: snagu kondenzovanja. Ispada da je stvaranjem novog simbola jedna moćna energija mišljenja preinačena iz relativno difuznog oblika u koncentrisani oblik. Već odavno je postojao napet odnos između pojmova i problema algebarske analize, geometrije, opšte nauke o kretanju, ali tek zahvaljujući stvaranju algoritma Njutnovog računa fluksije taj naboj se počeo prazniti i sevnula je varnica. Tada je prokrčen put za dalji razvitak i propisana je putanja: trebalo je samo da taj razvitak donese potpuno, eksplicitno sazna­nje o onome što je već bilo pokazano i implicitno postavljeno u tek stvorenim simbolima. I baš se na tom učinku i pokazala prednost Lajbnicovog oblika analize nad Njutnovim oblikom. I Njutnov račun fluksije teži slobodnom pregledu celine problema, teži istin­ski univerzalnom formulisanju pojma veličine i pojma stalne pro­mené. Ali toj težnji su tu od početka postavljene određene barijere, jer Njutn polazi od mehanike i uvek mu je krajnji cilj mehanika. Zato je jasno zašto su njegovom mišlljenju, čak i kad se prividno kreće sasvim apstraktnim putanjama, ipak uvek potrebne mehaničke analogije, pa ih se ono i drži. Njegov opšti pojam postanja je, stoga, sasvim orijentisan prema fenomenu kretanja. Tako je pojam fluksije, na kojem se zasniva Njutnova analiza, građen po uzoru na Galilejev pojam momenta brzine i još uvek nosi pojedine određene karakteristične crte tog pojma. Nasuprot tome, Lajbnicova metoda je formalnija i apstraktnija. Doduše, i on polazi od dina­mike, ali sâma dinamika njemu treba da posluži samo kao predstupanj i kao prilaz za novu metafiziku, kojoj on teži. Tako je Lajbnic prinuđen da nju od početka shvati kao sasvim opštu i da iz pojma sile, koji uzima za osnovu, isključi sve intuitivne sporedne predsta­ve, uzete iz telesnog kretanja. Stoga, njegov pojam promené, na kojem zasniva analizu, više nije ispunjen ni opterećen jednim određenim, konkretno-intuitivnim sadržajem, nego počiva na onom „principu opšteg reda“ (principe de l’ordre général) koji on označava i definiše kao „princip kontinuiteta“. Tako se tu osnovni problemi analize ne prevode u oblik problema kretanja, kao što je to slučaj u Njutnovoj metodi “prvih i poslednjih“, nego se teorija kretanja od početka zamišlja samo kao specijalan slučaj koji – baš kao i teorija nizova ili kao geometrijski problemi kvadra­tura krivulja – podležu jednom sasvim univerzalnom logič­kom pravilu. U tom smislu su za Lajbnica aritmetika, algebra, geometrija i dinamika uopšte prestale da budu samostalne nauke: postale su samo „probe“ (échantillons) univerzalne karakteris­tike.11 Sa stanovišta te karakteristike, koja teži da bude opšti i opštevažeći jezik matematike, svi raniji polazni stavovi u pojedi­nim oblastima sada su još samo posebni idiomi. Logika nauka može i treba da prevlada tu čistu iéiomatiku: jer ona je kadra da se spusti do poslednjih, fundamentalnih relacija mišljenja, koje su implicitno sadržane u svim spojevima posebnoga i na kojima se zasniva opravdanost tih spajanja. Tako iz univerzalnosti znaka proizlazi prava univerzalnost mišljenja. Da bi opravdao to što uvodi i upotrebljava „beskonačno-male“ veličine, Lajbnic rado ukazuje na primer imaginarnoga, ali se tek u kontekstu našeg problema može razumeti prava logička osnova te analogije. Ono što je zajedničko i što povezuje tu leži u teoriji simbola, koju je stvorio Lajbnic kao idealistički logičar i koju pretpostavlja svuda u struk­turi matematike. U njoj se stiču sve niti koje njegovo uobličavanje pojedinačnih nauka povezuju sa opštom teorijom nauke, a nju, opet, s njegovim celokupnim sistemom filozofije.

Osvrnemo li se još jednom na ukupno matematičko građenje pojmova, videćemo da je to građenje pojmova u toku celog svog razvitka ostalo verno onom putu na koji mu je već na samom početku naučne matematike stvarno proročki jasno ukazao Platon. Cilj kojem je .ono težilo i sve više mu se približavalo, bio je cilj „određenja“, prevladavanja tog djteioov onim jcégaç. Svako ma­tematičko građenje pojmova počinje tako što se misao, doduše, ne odvaja prosto od intuitivno-datoga i intuitivno-predstavljivoga, ali teži da se oslobodi nestalnosti i neodređenosti intuicije. Umesto preli van ja jednih čulno intuitivnih datosti u druge i njihovog nepri-metnog prelaženja jednih u druge, ovo građenje pojmova uvodi stroga i jasna razlučivanja. U sferi pukog opažanja ili intuicije nigde nema takvih razlučivanja. Tu nema nikakvih „tačaka“, nika­kvih „linija“ i „površina“ u smislu koji matematika podrazumeva pod tim pojmovima. Tek sâmo aksiomatsko mišljenje matematike postavlja moguće subjekte za svaki pravi matematički iskaz. U tom smislu je Feliks Klajn aksiome definsao upravo kao zahteve koji nas uzdižu iznad nepreciznosti intuicije ili iznad njene ograničene preciznosti do neograničene preciznosti. Isto tako, na primer, Vajl – suprotstavljajući „intuitivni“ kontinuum „matematičkom“ kon­tinuumu – naglašava da se do ovog drugog može doći samo ako se nestalnoj intuiciji posredstvom mišljenja podmetnu egzaktni ele menti, ako ideja neodređenog mnoštva intuitivnoga pretposta strog pojam „realnog broja“. I, kako on to energično naglašava, tu nije reč o nekom „šematizujućem nasilju“ ili o prostom učinku ekonomije praktičnog mišljenja, nego o delu uma koje prodire kroz ono što je dato i seže iznad njega. Ali pravo intelektualno čudo matematike sastoji se baš u tome što se u njoj samoj nigde ne završava taj „prodor“, koji joj određuje početak, nego se ponavlja stalno iznova i na sve Višem stupnju. Samo on nju čuva od toga da ne okošta u skup čisto analitičkih Stavova i da se ne sroza u jalovu tautologiju. Jedinstvo i unutrašnja povezanost matematičke meto­dologije počiva na tome što se stvaralačka prafunkcija, kojoj ona može da zahvali za svoj nastanak, u njoj samoj fligde ne zaustavlja, nego se pokazuje u sve novim oblicima i u tom pokazivanju dokazuje se kao jedna ista, kao neuništiva celina.

(Ernst Kasirer, 330 – 353 str., Filozofija simboličkih oblika, Dnevnik, Književna zajednica Novog Sada, 1985)

 

ERNST KASIRER – Predmet matematike, prvi deo (Formalističko i intuicionistitko zasnivanje matematike / Izgradnja teorije skupova i „kriza osnova“ matematike)


PREDMET MATEMATIKE

220px-Cassirer

I Formalističko i intuicionistitko zasnivanje matematike

Pre nego što pristupimo razmatranju suprotnosti između „for­malizma“ i „intuicionizma“ u njenom sadašnjem, metodski zao­štrenom vidu, osvrnućemo se na njene istorijske pretpostavke i pripreme. Pri tom osvrtu se ne rukovodimo samo istorijskim, nego i sistematskim interesom. Izgleda da bi se izbegli neki nespo­razumi između zaraćenih pravaca, i da bi se suština te suprotnosti mogla jasnije istaći, kad bi oba tabora bila svesna toga da problem o kome je ovde reč ima dugu predistoriju u logici i u filozofiji. Već se kod Aristotela može naći napomena koja ukazuje na to da on suštinu geometrijske definicije ne vidi samo u objašnjenju pojma nego u takvom objašnjenju koje sadrži teoremu egzistencije i dokaz egzistencije. Značenje reći „trougao“ geometar pretpostavlja, ali on dokazuje da je to trougao. 1 inače je pojam geometrijske „kons­trukcije“, u onoj formulaciji koju mu daje antička filozofska i matematička teorija, najtešnje povezan sa problemom dokaza egzistencije. I „renesansa“ matematičkog načina mišljenja, do koje dolazi u 16. i 17. veku, opet počinje baš na toj tački. Tu u istom pravcu dejstvuju Spinoza i Hobs, Čirnhaus i Lajbnic: za sve njih problem genetičke ili, kako to oni nazivaju, „kauzalne“ definicije dobij a sistematsko-filozofski značaj, koji daleko prevazilazi oblast matematike. Svojom metodskom jasnoćom i majstorstvom Lajbnic ujedinjuje sva ta nastojanja i određuje im mesto u ukupnoj strukuri logike. Spor između „nominalizma“ i „realizma“, koji je dominirao celom srednjovekovnom logikom, sad dobija nov oblik: taktf i, biva spašen iz pustinje spekulacije i prenet u konkretni rad egzaktne nauke. Hobs je pokušao da dokaže kako je istina osnovnih matematičkih pojmova kao i njihova opštost samo verbalna istina i opštost. Po njemu, ona se ne zasniva u samoj stvari nego u reči; počiva samo na dogovoru o jezičkim znacima. Nasuprot ovom shvatanju, Lajbnic je izneo ideju da je sam znak, ukoliko je znak pun značenja, vezan za određene objektivne uslove. Simboli i karakteri matematike ne mogu se tek-tako obrazovati niti po subjektivnoj volji međusobno spajati, nego podležu određenim normama spojivosti koje im nužnosti stvari propisuju. Tu „stvar“, prema kojoj se stalno moraju orijentisati i čiju unutrašnju istinu žele da izraze, ne treba, naravno, zamišljati u vidu neke empirijske „stvari“, nego u vidu postojanja određenih odnosa koji vladaju među čistim idejama. Svekoliko formiranje matematičkih pojmova i svekoliko matematičko davanje znakova u njima nalazi oslonac i unutrašnju meru. Spajanje tih karaktera mora odgovarati objek­tivnim relacijama ideja. „Ars sharacteristica est ars ita formandi atque ordinandi characteres, ut referant cogitationes, seu ut earn inter se habeant relationem, quam cogitationes inter se habeant. Expressio est aggregatum characterum rem quae exprimitur re-praesentantium. Lex expressionum haec est: ut ex quarum rerum ideis componitur rei exprimendae idea, ex illarum rerum characte-ribus componatur rei expressio.“ Time je odnos između matema­tičke „formule“ i stanja stvari na koje se ona odnosi nedvosmisleno utvrđen. Formula dobija signifikativnu funkciju tek posredstvom svoje intencije ka tom stanju stvari; s druge strane, ona treba da bude takva da obuhvata sve bitne crte tog stanja stvari i da ih sadrži u jednom pregantnom i egzaktnom izrazu.

Prema tome, za Lajbnica izgrađivanje sveta matematičkih znakova, stvaranje pojedinačnih karaktera i njihovo povezivanje, od početka podleže jednom određenom ograničavajućem uslovu: mora se proveriti „mogućnost“ predmeta spajanja. Ne daje svako spajanje elemenata mišljenja i znakova, dovedenih u vezu s njima, neki moguć objekt mišljenja. Među sadržajima mišljenja postoje takvi koji se, ako pokušamo da ih sintetički sjedinimo, u toj sintezi uzajamno bliže ne određuju i ne determinišu, nego se, umesto toga, uzajamno ukidaju. Stoga, ne odgovara svakoj faktički ostvarivoj kombinaciji znakova jedna „po sebi“ moguća, logički određena i logički zasnovana tvorevina. Naprotiv, ta „osnova“, taj „funda-mentum in re“, mora se posebno ustanoviti i posebno dokazati za svako formiranje pojma. Tako se definicija ne srne uzimati za goto­vu, završenu definiciju, koja predmet na koji se odnosi označava samo navođenjem nekog obeležja ili zbira obeležja. Tu uvek postaj! opasnost da se taj zbir sastoji od takvih komponenata koje se uza­jamno poništavaju. Ta opasnost naročito preti kad uđemo u oblast beskonačne raznovrsnosti. Tada se može dogoditi da nas put formi­ranja pojmova, koja su apsolutno dopustiva i prirodna u oblasti konačnoga, dovede do takvih određenja kakva sadrže protivrečnost u odnosu na strukturni princip te raznovrsnosti. I tako, recimo, ako nam je dat jedan konačan niz međusobno različitih brojeva, mi u njemu možemo stalno navoditi neki „najveći broj“; ali prenesen na beskonačnu celinu brojeva, pojam toga „najvećega“ sadrži jed­nu protivrečnost. Nešto analogno ovome važi za formiranja pojmova kao što su pojmovi „najmanjeg razlomka“ ili „najmanje brzine“. Međutim, Lajbnic se ne zaustavlja kod takvih pojedinačnih primera pojmova čiji se elementi međusobno ne podnose, nego ih koristi za izvođenje jednog opšteg zaključka. Svaki pojam koji pokušava da jedan matematički objekt označi i odredi samo imenovanjem jednog pojedinačnog svojstva, koje mu se pridaje, kreće se klizavom stazom. Puko navođenje takvih karakterističnih obeležja još nam ne jamči to da u sferi sadržaja mišljenja njemu nešto odgovara. Na primer, ako krug definišemo kao ravnu krivu koja, pri datom obimu, obuhvata maksimum sadržaja površine, uvek ostaje otvoreno pitanje: da li, pod pretpostavkom naše geometrije, „postoji“ takva kriva i, ako je tako, da li navedeni uslov može ispuniti samo jedna vrsta krivih. U prvom slučaju, našim objašnjenjem nije određena nikakva geome­trijska tvorevina, a u drugom slučaju, ona nije potpuno i jednoznač­no određena. Sumnju je ovde moguće otkloniti isključivo navođe­njem jednog određenog načina proizvođenja, jednog „modus generandi“ kružne linije i strogo deduktivnim dokazivanjem da je to traženo svojstvo kao nužno sadržano u tom načinu proizvođenja i da je njime postavljeno. Tek sada definicija, koja je ranije imala čisto nominalan karakter, prelazi u pravu „realnu definiciju“ tj. u takvu u kojoj je predmet sazdan od svojih konstitutivnih elemenata. Me­đutim, po Lajbnicu, u tu zaokruženost i u unutrašnju doslednost ovog sklopa ne možemo se uveriti nikako drukčije osim ako za sva­ki, ovde učinjeni korak mišljenja damo odgovarajuću, analognu operaciju u znacima. Ako sa svakom prostom „idejom“ dovedemo u vezu jedan prost znak i ako, zatim, postavimo izvesna opšta pra­vila spajanja tih znakova, tako da bismo latentnu logičku protiv­rečnost otkrivali i obelodanjivali na jednom direktnom čulno zapazivom simptomu. Tako, za nas odnos koji spada u čisto pojmovni svet postaje pojmljiv u slici: mi smo, u neku ruku, prisilili misao da iziđe iz svoje unutrašnje radionice i da nam se neposredno pokaže u svojim spletovima i kompleksima.

Tako se posredstvom teorije matematičke definicije i matema­tičkog predmeta uspostavlja strogo određen, precizan odnos izme­đu „čulnosti“ i „uma“. Te dve oblasti su sasvim jasno međusobno razdvojene: one se ne mogu preplitati niti na bilo kojoj tački preći jedna u drugu. Nijedan matematički sadržaj ne proizlazi kao takav iz čulnosti, jer ovoj nedostaje karakteristično obeležje, konstituti­van princip matematičkog. Da bi mogao važiti za matematički sadržaj, jedan sadržaj mora biti distinktno shvaćen, tj. mora se sastojati od prostih, po sebi izvesnih osnovnih elemenata saznanja isto onako kao što se svaki broj jednoznačno može prikazati kao proizvod prostih brojeva. Čulni doživaljaji nisu podložni takvom potpunom razlaganju; kod njih se moramo stalno zaustavljati kod nekakvih celina koje nisu razložive na svoje konstitutivne momen­te, na svoje određujuće „osnove“, nego ih mi shvatamo još samo „konfuzno“. Iz tog razdvajanja „distinktnog“ i „konfuznog“ sa­znanja neposredno proizlazi činjenica da se za Lajbnica nijedan jedini, uistinu matematički predmet ne zasniva u čulnosti. To važi ne samo za broj, nego isto toliko i za geometrijsku dimenziju. Ni ona nije podatak opažanja, nego je ideja čistog razuma (une idée de l’entendement pur). Ali iako se tako „razum“ proglašava za mesto odakle potiče i izvire sve što je matematičko, ipak je Lajbnic uveren da se ljudsko saznanje može odomaćiti i učvrstiti u regionu „inteligibilnih“ matematičkih predmeta tek ako ne odbije pomoć čulnih znakova. U osnovi svekolikog ljudskog saznanja leže prvo­bitni uvidi čistoga uma: ali ono ne može ovladati tim praintuicijama uma niti ih zadržati za sebe ukoliko ih ne izrazi u slikama, u simbo­lima. Ono što je intuitivno, pri tom uvek ostaje „po suštini“ prvo; s druge strane, ono što je simboličko pokazuje se kao neophodno utoliko što predstavlja to „za nas prvo“. Naš konačni razum jeste i ostaje razum kome su potrebne slike: on bi se neizostavno izgubio u lavirintu zamišljivoga da mu opštom karakteristikom nije data Arijadnina nit. Tako, u čisto logičkom poretku, u poretku „predmeta“, to što je intuitivno uvek predstavlja pravi temelj; ali mi se sami ne možemo vratiti toj bazi ako ne krenemo kroz medijum čulnosti, kroz srednji sloj simboličkoga.

Razume se, ovaj u sebi tako jasan i prost odnos između mate­matičkog „uma“, s jedne strane, i „čulnosti“, s druge strane, postaje teži i složeniji ukoliko pođemo od Lajbnica a ka Kantu. Istina, u jednoj tački Kantovo učenje o matematici javlja se kao direktan i pravolinijski nastavak Lajbnicovog: i u njemu je mogućnost konstruisanja osnovnih matematičkih pojmova nužan uslov njihove is­tinitosti i važenja. Za Kanta još ranije, još u spisima prekritičkog perioda, to gledište postaje centar matematičkog učenja o metodi. Nijedan matematički pojam ne može se dobiti pukom „apstrakcijom“ iz datoga; on stalno uključuje i slobodan akt spajanja, akt „sinteze“. Dokaz „mogućnosti“ te sinteze je nužan ali ujedno i dovoljan uslov za istinitost matematičkog predmeta. „Kupa može inače značiti bilo šta; u matematici ona nastaje iz proizvoljne pred­stave o pravouglom trouglu koji se obrće oko jedne strane. Objašnjenje je tu i u svim drugim slučajevima očito rezultat sinte­ze.“ Tako se, u krajnjoj liniji, sva matematička demonstracija zasniva na konstrukciji. Filozofsko saznanje je umno saznanje iz poj­mova, matematičko je saznanje iz konstrukcije pojmova. Ali dok Kant na momenat konstruktivnog proizvođenja gleda kao na os­novni i prvobitni karakter svakog matematičkog formiranja poj­ma, raščlanjavanje saznanja, koje se kod njega prouzrokuje i obrazlaže tim momentom, ima drukčiji vid nego što je to bio slučaj kod Lajbnica. Rez se sad povlači na drugom jednom mestu u celokupnom sistemu. Za Lajbnica je posredi bilo strogo razdvajanje saznanja čistog uma – po njegovom pravom razlogu od čulnog saznanja, ali ujedno i tesno povezivanje to dvoje u njihovoj upotre­bi posredstvom srednjeg člana „opšte karakteristike“. Pri tom su matematičko mišljenje i logičko mišljenje na istoj strani: ona pri­padaju svetu čistog razuma, onog intellectus ipse. Nasuprot njima stoji svet opažanja, pukih „činjeničkih istina“; ali ta razlika ne može ni na jednoj tački postati suprotnost, istinska oprečnost među njima. Osnovni metafizički princip Lajbnicove filozofije, princip „prestabilirane harmonije“, važi i za odnos između uma i iskustva. Nijedna istina čistoga uma ne može se dobiti iz iskustva, iz posmatranja pojedinačnih čulnih primera; ali svaka važi bez ikakvog ograničenja za iskustvo. Tako, između logike i matematike, s jedne strane, i empirijsko-fizikalnog saznanja, s druge strane, nikad ne može doći do nesuglasica: u strukturi Lajbnicovog sistema problem primenljivosti matematike ne nalazi nigde mesto. A Kant, strože nego ikad ranije, postavlja baš taj problem i kod njega iz tog pro­blema proizlazi konačno obličje njegovog „kritičkog“ učenja. On odbacuje dogmatsku presudu o „prestabiliranoj harmoniji“, pa ostavlja pitanje osnove mogućnosti poklapanja apriornih pojmo-a i empirijskih činjenica. A odgovor na to pitanje dobija zahvalju-ći saznanju da ni empirijski predmet, kao predmet, nije prosto at, nego sadrži moment matematičke konstrukcije. Empirijska edmetnost ostvaruje se samo na osnovu poretka empirijskoga: a m taj poredak moguć je samo zahvaljujući čistom čulnom sagledavanju prostora i vremena. Taj pojam čistog sagledavanja želi da ostane podjednako daleko od Lokovog „senzificiranja“ saznanja i od Lajbnicovog „intelektualizovanja“ saznanja. Sad ono što je matematičko više nema nikakav prosto odvojen logički dignitet, nego se njegov značaj, njegovo ,,quid juris“ potpuno ispoljava tek u tome što ono čini za izgrađivanje empirijskog saznanja. Bez stalnog odnošenja na taj učinak, bez njegovog uzimanja u obzir, učenje o „čistom prostoru“ i o „čistom vremenu“ ne bi značilo ništa više i ništa bolje od „bavljenja pukim priviđenjem“. Kant sada ide tako daleko da izjavljuje kako pojmovi čiste matematike sami za sebe uopšte nisu saznanja, „osim ukoliko se pretpostavi da postoje stva­ri koje mi možemo predstaviti samo shodno formi onog čistog čulnog opažaja“. Istina matematičkih ideja se tako najtešnje povezuje s njihovim empirijskim ispunjenjem, čak se vezuje za to ispunjenje. Time je metodologija konstruktivnog izgrađivanja osvo­jila jednu novu oblast; ona je, tako reći, preneta u sferu samog iskustvenog saznanja. Ali posledica ovoga je ujedno i to da se, u poređenju s Lajbnicovim učenjem o saznanju, bitno povećala dis­tanca između logičkog i matematičkog saznanja. Ukoliko se ne odnosi na oblike čistog sagledavanja prostora i vremena, mišljenje postaje skup samo analitičkih stavova, koji, doduše, ne sadrže ntkakvu protivrečnost,’ ali ne mogu ni pretendovati na bilo kakav sadržaj, na pozitivnu korisnost za celinu saznanja. A to pokazuje da zahtev za „mogućnošću konstruisanja“ u Kantovom sistemu ima dvostruki značaj. Naime, u njemu je, s jedne strane, samo postavljen i potvrđen baš onaj momenat čije smo dejstvo već zapa­zili u Lajbnicovom učenju o „genetičkoj definiciji“: sve što je „dato“ treba razumeti i izvoditi iz jednog „proizvodnog pravila“. S druge strane, za Kanta „definisati“ pojam znači neposredno ga predstaviti u intuiciji, tj. dokučiti ga na nekoj prostornoj ili vre­menskoj šemi. „Smisao“ matematičkih pojmova sad je vezan za taj oblik šematizovanja. Tako je tu „čista čulnost“ u ukupnoj strukturi matematike dobila sasvim drukčije mesto nego kod Lajbnica. Od pukog sredstva prikaza što je ona bila za Lajbnica, čulnost se pre­tvorila u samostalnu osnovu saznanja: intuicija je sačuvala utemeljujuću i legitimišuću vrednost. Za Lajbnica je oblast intui­tivnog saznanja, koje se odnosi na objektivno spajanje ideja, odvojena od oblasti simboličkog saznanja, u kojoj nemamo posla sa samim idejama nego sa znacima koji ih zamenjuju: ali intuicija, do čijih se osnova on vraća, ne predstavlja nikakvu instancu suprotnu onome što je logičko, nego čak sadrži kao posebne oblike to što je logičko i ono što je matematičko. Nasuprot tome, za Kanta granica nije povučena između intuitivnog i simboličkog mišljenja nego između diskurzivnog“ pojma i „čistog opažaja“, a sadržina tog matematičkoga se može dati i zasnovati samo ovim poslednjim.

Ako sa stanovišta moderne matematike posmatramo ovako datu metodološku suprotnost, moramo reći da je ta matematika napredovala ne putem na koji je ukazao Kant, nego onim na koji je ukazao Lajbnic. Naročito je otkriće neeuklidovske geometrije nju usmerilo tim putem. Zahvaljujući novim problemima koji su odatle proizašli za nju, matematika je sve više postajala „hipotetičko-deduktivan sistem“, čija se istinosna vrednost sastoji u nje­govoj unutrašnjoj logičkoj zaokruženosti i doslednosti, a ne u nekakvim sadržinskim intuitivnim iskazima. Ona se više ne poziva na intuiciju kao na pozitivno sredstvo za dokazivanje i obrazlaga­nje, nego je upotrebljava samo da bi dala jednu konkretnu reprezentaciju opštih povezanosti relacija koje sazdaje u čistom miš­ljenju. I, kako to ona i pokazuje, postoji uopšte beskrajno mno­go takvih reprezentacija, a ne samo jedna, tako da se jedan odre­đeni sistem „aksioma“ ispunjava ne samo u jednoj jedinoj oblasti intuitivnih datosti nego je kadar za najrazličnija ispunjenja. Različnost tih prikaza se ne osporava: ali ona je prestala da bude činjenica koja ima matematičko značenje. S matematičkog gledi­šta, sve raznovrsne intuitivne oblasti označavaju samo jedan objekt i jedan oblik: sve su one međusobno „izomorfne“ ukoliko ti isti odnosi R’, R“, itd. važe podjednako u svima njima i ukoliko je baš to važenje čistih odnosa (po novom shvatanju, koje je u 19. i 20. veku postalo opštevažeće) ono jedino što konstituiše matematički oblik kao takav. Već je jedan od osnivača moderne simboličke logike“, Džordž Bul, pojam „formalne nauke“ tačno odredio u onom smislu koji je kasnije apsolutno potvrdio razvitak „apstrak­tne“ matematike. On je naglasio da važenje procesa analize ne za­visi od interpretacije simbola koji se javljaju nego samo od zakona njihovog spajanja. Utoliko, na prvi pogled, više iznenađuje činjeni­ca da su sve teškoće koje se javljaju u u pojmu i problemu „intuicije“ u ovim poslednjim decenij ama ponovo iskrsle u samoj matematici, pa i da u njoj uzimaju sve više maha. Danas se borba opet zaoštrila, a s njom je i odnos između matematike i logike iznova postao mnogoznačan i sumnjiv. Na jednoj strani je shvatanje onih koji čistu matematiku žele ne samo da utemelje u logici nego i da je sasvim vrate u nju, dakle, koji principijelno osporavaju mogućnost po­vlačenja neke razdvojne linije između njih. A nasuprot ovome pogledu, drugi tako energično i upečatljivo zastupaju pose­bno pravo i poseban smisao matematičkoga da time ne samo proglašavaju „predmet“ matematike za nezavisan od predmeta logike, nego čak dopuštaju i mogućnost da matematika napadne fundamentalne principe „klasične“ logike, kao što je „stav isklju­čenja trećeg“. Sa ovog stanovišta se na logiku u njenom uobičajenom obličju ne gleda kao na temelj svekolikog mišljenja, nego ispada da postoje sasvim autonomne radnje mišljenja koje se ne mogu izvesti iz nje. Nije ona ta koja postavlja pravu osnovu istine, nego, napro­tiv, sav značaj i istinu koji su joj svojstveni ona dobija od druge jedne instance, od izvesnosti matematičke praintuicije. Za Brauera, koji je najstrože zastupao to osnovno shvatanje, na početku sveg mišljenja stoji mišljenje vezano za broj: a tek iz učenja o broju, iz aritmetike, izvučena su elementarna pravila logike. Ipak, pri tom se matematika, a i logika, prvobitno ne odnose ni na šta drugo osim na konačne količine. One postavljaju pravila za takve količine i ne dopuštaju nikakve druge procese osim onih koji se mogu dovesti do određenog „kraja“, do konačne odluke. Čim se pređe ta granica i mišljenje uznapreduje do koncepcija koje sadrže pojmove besko­načnoga, ono će naići na sasvim nov problem pred kojim će zatajiti njegova dotadašnja oružja. Po Braueru, moderna analiza je uzalud pokušavala da savlada taj problem; što je dalje napredovala, ona se sve više zaplitala u paradokse i protivrečnosti. Rešenje tih protivrečnosti ne može se očekivati od razvoja novih sredstava mišljenja, nego samo od kritičkog ograničavanja mogućih objekata mišljenja. Učenje o mnoštvu dobiće neprotivrečan oblik tek kad više ne bude pokušavalo da prisili mišljenje da veštački prelazi svoje prirodne granice, nego se, umesto toga, svesno i izričito ograniči na određene procese. Tako je ovde moderna matematika dovedena pred pravu metodsku dilemu, pred kojom se mora odlučiti. I kako god ta odluka ispala, ona u svakom slučaju mora uključivati i neko odricanje. Ako želi da ostane na glasu kao „evidentna“, matemati­ka će u tome uspeti samo ukoliko se vrati praizvoru te evidentnosti, osnovnoj intuiciji celoga broja. S druge strane, ona taj povratak mora platiti teškom intelektualnom žrtvom, koja preti da joj zauvek zatvori pristup širokim i plodnim oblastima što ih je klasična analiza osvajala korak po korak. U samoj matematici još se ne može videti konačno rešenje te oprečnosti. Ali kakvo god ono bilo, sa stanovišta čiste kritike saznanja, već činjenica te oprečnosti predstavlja važan i koristan problem: jer labilna ravnoteža, kakvu ovde vidi, kritičaru saznanja može pomoći da stekne posebno jasnu svest o prirodi raznih idejnih snaga koje su sudelovale u stvaran moderne matematike i odredile njen današnji oblik.

II Izgradnja teorije skupova i „kriza osnova“ matematike

Matematičko mišljenje je nailazilo na raznovrsne oblike „pa radoksa učenja o skupovima“, koji su dali prvi odlučujući podsticaj za reviziju osnovnih principa moderne analize, ali se – čisto meto­dološki posmatrani – svi oni mogu svesti na jednu jedinstvenu poj­movnu formulu. Svaki od tih paradoksa obuhvata pitanje da li je i u kojoj je meri dopušteno da se samo navođenjem jednog pojmovnog „obeležja“ opiše krug predmeta tako da zamišljena celina tih pred­meta predstavlja jednoznačno—određen i važeći matematički „objekt“. U početnim oblicima učenja o skupovima matematičko mišljenje je još verovalo da se dobronamerno može prepustiti ovoj vrsti stvaranja objekta: skup je, naizgled, bio određen kao jedin­stven, u sebi jasan predmet, ukoliko je bio naveden bilo koji kriterijum na osnovu kojeg se za svaku stvar moglo odrediti da li kao element pripada ili ne pripada tom skupu. Tim jednim jedinim zahtevom skup je bio „definisan“ i njegova „egzistencija“, kao legitiman matematički predmet, osigurana. Što se tiče pripadnosti „elementa“ tom skupu, bilo je dovoljno da ona bude načelno odredljiva, a nije zahtevana stvarna odredljivost za svaki pojedinačni slučaj: skup „trancendentnih brojeva“, recimo, „egzistira“ u već navedenom smislu, mada se, na sadašnjem nivou matematičkog saznanja, ne može navesti da li broj nn spada ili ne spada u njega. Po tom osnovnom shvatanju, jedan skup je, kao čisto postojeći, „dat“ ako se bilo kojim definišućim određenjem iz sfere zamislivoga izdvaja izvesna oblast, pa se svi njeni elementi zamišljaju kao sjedinjeni u jednom skupu. Način tog sjedinjavanja tu nije vezan ni za kakve ograničavajuće uslove. Jednakost u odno­su na definišuću osobinu jedina je veza koja se zahteva od članova skupa. Ako ta jednakost postoji, nije potrebna više nikakva „unu­trašnja spona“ koja povezuje te članove. Skup je od početka okarakterisan oblikom puke „agregacije“, a ne oblikom nekog speci­fičnog „sistema“: u osnovi, on baš iskazuje da se, nezavisno od svakog obzira prema kvalitativnom „srodstvu“ smisla, sve može povezati sa svačim i sjediniti u jednu celinu, u jednu pojmovnu ukupnost.

Ako predočimo sebi tu polaznu tačku učenja o skupovima, ne može nas začuditi to što je primena tog učenja nužno nailazila na izvesne granice, koje bismo mogli nazvati granicama „specifičnog smisla“. Ukoliko uopšte pretpostavimo da u sferi zamislivoga važe neki specifični zakoni smisla, onda ti zakoni moraju ranije ili kasnije postaviti neku granicu proizvoljnom povezivanju „svega sa svim“. Pojaviće se izvesni osnovni zakoni spajanja na osnovu kojih će određene jedinstvene tvorevine biti spoznate kao dopustive, kao objektivno-važeće, dok će se drugima osporavati to važenje. Tvore­vine ove druge vrste matematičko mišljenje 19. veka otkrilo je u antinomijama učenja o skupovima. Shvatanja su se najpre još više razilazila u pogledu rešivosti tih antinomija, kao i načina na koji više razilazila u pogledu rešivosti tih antinomija, kao i načina na koji treba pristupiti njihovom rešavanju; ali jedno je bilo sigur­no, naime to da je nužno napustiti dotadašnju „nevezanu“ definici­ju skupa. Po „aksiomatskom mišljenju“ je to vezivanje, sada spoznato kao neophodno, na početku i samo shvatano u čisto „formalnom“ smislu. Proizvoljnost u definiciji skupova, kao i dopuštanje iskaza o njihovim elementima, tako su ograničeni postavljanjem određenih aksioma da su se protivrečnosti u teoriji skupova mogle izbeći, dok su, s druge strane, uprkos nametnutim ograničenjima, domet i primenljivost te teorije ostali netaknuti. Logička obezbeđenja takve vrste u svakom pogledu su zadovoljila tehničke zahteve matematike. Tim putem su pošla Cermelova ispi­tivanja o osnovama učenja o skupovima i Raselovo učenje o tipovi­ma. Ovim poslednjim je, na primer, određenom postupku stvaranja skupa uskraćen pristup legitimnoj matematici (reč je o takozva­nom ,,ne-predikativnom“ postupku pri kakvom se pojam, koji kao član spada u izvesnu ukupnost, karakteriše tako da mu u definiciju ulazi baš ta ukupnost kao celina).  Konstatuje se da nijedna ukup­nost ne srne sadržavati članove koji se mogu definisati samo posredstvom same te ukupnosti. Ali čak i ako pođe za rukom da se postavljanjem takvih zabrana izbegne pojava protivrečnosti, ipak ostaje još jedno principijelno pitanje u vezi sa tim postupkom. Doduše, aksiomatika čisto sadržinski postavlja pred nas jednu određenu zabranu, ali nam ne otkriva njenu pravu, metodološku „osnovu“. Važenje jednog određenog aksioma – na primer, važenje stava koji je uveo Rasel kao „aksioma reducibiliteta“ – pokazuje se u njegovim povoljnim posledicama, u isključivanju „paradoksnih“ stvaranja skupa, ali se unutrašnja nužnost tog važenja ne shvata. Istina, mi poimamo to „da on važi, ali ne „zašto“ važi. Tako se aksiomatikom, u neku ruku, izbegava samo pojava jednog odre­đenog simptoma bolesti, ali stalno ostaje sumnja da li je time odista spoznata i pobeđena sama ta bolest, koja se ispoljava u ovom simptomu. I sve dok o ovome ne postoji nikakva izvesnost, mora se uvek računati s tim da će ona izbiti na nekom drugom mestu.

„Ograda aksiomatike“ – ovako je drastično opisan taj odnos „čuva, da se izrazimo kao Poenkare, legitimne ovce besprekorno učenja o skupovima od napada paradoksima razbesnelih vukova na njihovu zaštitnu ogradu. U trajnost te ograde ne može biti nika­kve sumnje. Ali ko garantuje da se u okviru ograde nisu neoče­kivano zadržali neki vuci, koji će, iako ih danas ne primećujemo, jednog dana jurnuti na stado ovaca i iznova, kao na početku ovog veka, opustošiti to, u međuvremenu ograđeno carstvo? Drugim recima, kako ćemo se obezbediti od toga da aksiomi u sebi ne nose skrivene klice koje mogu proizvesti još nepoznate protivrečnosti čim ih zaključcima dovedemo u odnos uzajamnog dejstva?“ Težnja ka takvom ne samo prolaznom nego i konačnom obezbeđenju morala je modernu matematiku vratiti na centralnu i bitnu tačku spora, na problem matematičke definicije i matematičke „egzistencije“. Tako je opet razlika između nominalne i realne definicije, kakvu je Lajbnic već jasno i precizno fiksirao, postala važeća. Nije dovoljno ma koje sjedinjavanje recima iskazivih obeležja pa da se odredi neki matematički predmet i da se zajemči njegova „mogućnost“. Štaviše, u šakom slučaju se, zarad obezbeđivanja te mogućnosti, samim recima mora supstituisati njihov jpnisao i, polazeći od kriterija tog smisla, doneti odluka. Posebno se ne može operisati beskonačnim skupovima, a da se ne postavi prethodno pitanje i odgovori na koji način i kojim sredstvima takvi skupovi uopšte mogu biti „dati“ mišljenju. „Paradoksni“ skupovi posebno jasno pokazuju da to „davanje“ nikad nije samo kolekti­van akt, da se ne može obaviti „okupljanje“ bilo kojih elemenata, određenih samo nekom zajedničkom „osobinom“. Zahtev da se spoji sve što ima udela u toj osobini predstavlja pre svega samo postulat čija se ostvarivost nikako ne jamči. Tek ne samo kolektiv­no, nego i „konstitutivno“ jedinstvo jednog zakona, kojim se određuje struktura skupa, može načelno pomoći da se prebrodi sumnja u mogućnost tog ostvarenja: jer taj zakon ne samo što obu­hvata beskonačnost mogućih slučajeva primene, nego i omogućuje njihovo proizlaženje iz njega. Međutim, to saznanje, u osnovi, vraća modernu matematiku, sasvim posebnim i novim putevima, na onu tačku od koje je pošao Lajbnic kao metodičar matema tičkog mišljenja. Sada je opet spoznata ona povezanost prav „realne definicije“ i „genetičke definicije“. U tom smislu i Va naglašava da valja poći od čistog postupka „iteracije“ ako želi doći do istinski sigurne i noseće osnove analize. Čisto učenje o brojevima opet postaje jezgro matematike, tako da kategorija „prirodnog broja“, zajedno s prvobitnom relacijom koja se na nju odnosi i kojom se izražava odnos „neposrednog sleđenja“ u poret­ku brojeva, određuje „apsolutno operacijsko područje“ matemati­ke. Iz procesa iteracije, beskonačno mogućeg toka u jednom nizu mogu se izvući elementarna saznanja o prirodnim brojevima, na kojima se logički zasniva celokupna čista matematika.

U ovom utemeljenju za kritiku saznanja ima bitan i odlučujući značaj okolnost da se tek njima u punoj meri priznaje primat poj­ma funkcije nad pojmom stvari. Ako se matematika svodi na „praintuiciju“ broja, ta intuicija više nikako ne znači intuiciju konkretnih stvari, nego je shvaćena kao intuicija jednog čistog postupka. Polazi se od određene oblasti operacija: a tek te operacije vode ka individuama, koje označavamo kao „brojeve“. „Postojanje“ tih individua nije ni dokazano ni dokazivo na bilo koji drugi način osim ukazivanjem na princip prema kome se one mogu postavljati u beskonačnost po jednom unapred određenom pravilu. Samo način tog postavljanja omogućava njihovo potpuno misaono ovladavanje: jer znanje o „zakonu“ ovde strogo prethodi znanju o „postavljenom“. Tek iz operacijskog područja broja raz­vija se stvarstveno područje brojivoga i brojanoga. Tek kad ova idealistička misao prožme moderni „intuicionizam“ i kad on sebe shvati kao njen izraz, taj će „intuicionizam“ moći sasvim da razvije i pokaže svoju sposobnost za kritiku osnova matematike. Razume se, sam idealizam ovde valja shvatiti kao strogo „objektivan“ idealizam: predmetno područje matematike ne srne se zasnivati na psihološkom aktu brojanja, nego na čistoj ideji broja. Ako se ne varam, Vajlovo shvatanje „intuicionizma“ ima prednost nad Brauerovim shvatanjem zahvaljujući strožem sagledavanju i nag­lašavanju baš tog momenta. I Brauerovo utemeljenje analize polazi od procesa „iteracije“. Po Braueru, analiza počinje postavljanjem raznovrsnosti koja je takva da se potpuno određuje samo jednom sređujućom relacijom. Princip intuicionističke matematike sastoji se u tome da se sva predmetna područja, koja ona obhvata, posredno odnose na tu prvobitnu i osnovnu šemu, pa ih valja uobličavati po uzoru na nju. Odatle sledi da, kad god matematika govori o „egzi­stenciji“ i kad god iskazuje određenu teoremu egzistencije, dragocena nije ta teorema kao takva nego konstrukcija izvedena u doka­zu. U tom smislu Brauer kaže da je cela matematika „mnogo više delanje nego učenje“. Ali tu je potrebno pre svega podrobnije objašnjenje o tome šta u sferi matematike i u okviru njenih granica valja podrazumevati pod pojmom samog delanja. Matematičko „delanje“ je čisto intelektualno delanje koje ne protiče u vremenu, nego tek omogućava jedan osnovni momenat na kome počiva samo vreme, momenat „nizanja“. Tako se osnovna operacija na kojoj se zasniva carstvo brojeva ne srne svesti na skup pojedinačnih radnji, koje su uzajamno u odnosu empirijske „uzastopnosti“, tako da samo „malo-pomalo“ sazdaju neku celinu. Naprotiv, tu je celina strogo „pre“ delova: u tom smislu što princip operacije, njen proizvodni zakon, stoji na početku, a svaka pojedinačna postavka tek od njega dobija smisao. Razvojni tok od člana do člana u nizu ne stvara taj princip,“ nego ga samo objašnjava; to je, tuieku ruku, tumačenje toga šta je on i šta on znači. Prema tome, matematičko „delanje“ je uvek jedno prosto univerzalno delanje koje u jednoj jedinoj osnovnoj postavci obuhvata beskonačnost mogućih delimičnih akta i čini ih potpuno preglednim. Sređujuća relacija od koje se polazi određuje jednom zauvek granice ukupnog područja mogućih predmeta, a za dobijanje i obezbeđivanje tog područja nije potrebno ukazivati na individualnost pojedinačnih predmeta niti ih „konstruisati“ u ovom smislu. Međutim, u Brauerovom zastupanju „intuicionizma“ kao da ta dva gledišta nisu strogo razdvojena. On zahteva za svaki matematički iskaz u obliku: „dato je“, zapravo, obrazloženje u jednompojedničanom aktu „davanja“, ali baš zato preti opasnost da kod njega iščeznu granice čisto idealnog i empirijskog davanja. Da bismo označili te granice, možemo pribeći razlikovanju koje je Lajbnic uveo i sproveo u drugom jed­nom problematičnom kontekstu. U svojoj kritici Njutnovih pojmo­va apsolutnog prostora i apsolutnog vremena on polazi od toga da se tim pojmovima može osporiti objektivni fizikalni značaj zato što se nikad ne mogu dokazati stvarnim posmatranjem. Pojam koji se ne može legitimisati konkretnim iskustvom ostaje prazan; s njim se ne može dovesti u vezu nijedan određen i jednoznačan fizikalan „predmet“. Na primer, kad govorimo o promeni kojoj vasiona podleže u pogledu načina svog „apsolutnog kretanja“, svaka pret­postavka takve promené je fizikalno-beznačajna ukoliko nemamo sredstva za konstruisanje njenog bivstva ili ne-bivstva. Granice posmatranja su, prema tome, ujedno granice onoga što možemo i smemo da označimo kao fizičku realnost. A na zamerku da u svetu može biti zbivanja, a da mi ne moramo biti kadri da ih konstruišemo sredstvima svog empirijskog istraživanja, Lajbnic je odgovo­rio metodskim zaoštravanjem svoje prvobitne teze. Elementi od kojih je za nas sazdana sama stvarnost prirode, stvarnost fizikalnog predmetnog sveta, ne moraju uopšte biti takvi da ih je moguće ponaosob dokučiti neposrednim opažanjem, ali je, ipak, nužno da budu dostupni posrednom osvedočavanju na osnovu nekog podat­ka iskustva. Odlučujući faktor tu nije aktualno, nego moguće posmatranje, nije „observation“ nego „observabilite“. U tom bi se istom smislu moglo reći da o važenju jednog matematičkog pred­meta ne odlučuje njegova stvarna, nego njegova moguća konstruk­cija, njegova „konstruktibilnost“. Izvođenje aktualne konstrukcije nije potrebno čim se mišljenje na osnovu jednog opšteg zakona, na osnovu uvida u apriornu strukturu jedne određene oblasti, uveri u mogućnost konstrukcije. Jezikom učenja o skupovima osnovna razlika, na koju ovde ciljamo, najjasnije se može označiti ako se setimo raznih značenja koja je pojam „određenog skupa“ dobijao u toku razvoja teorije skupova. Na početnim stupnjevima ove teorije taj pojam je shvatan toliko široko da se neki skup smatrao dovoljno određenim ako se za svaki objekt mišljenja sa sigurnošću moglo reći da li se ubraja ili ne ubraja u elemente tog skupa. Svaka u ovom smislu elementarno-određena ukupnost za nas predstavlja postojanje jednog skupa. U tom slučaju, paradoksi učenja o skupo­vima prinuđuju nas da odbacimo tu neograničenu upotrebu pojma skupa: zahtev za elementarnom određenošću zamenjuje se zahtevom za definicijom obima. Ne konstituiše već svaki skup, definisan navođenjem jedne osobine ili jednog zakona, kao takav jedan važeći matemtaički predmet; od tog skupa moramo zahtevati da bude ideelno-zatvoren, tako da izvan izvesnog zatvorenog kruga a$#ftri, koji se može razgraničiti određenim principom konstrukci­je, više nema elemenata skupa. Brauer je zatim otišao još korak dalje, dopuštajući samo takve ukupnosti određene u pogledu rešenja za koje se pitanje da li se u njima javljaju elementi unapred date osobine uvek može resiti posredstvom čisto finitnih procesa. Pojmu „konstruktibiliteta“, kako smo ga ovde pokušali formulisati, odgovarao bi zahtev za „definitnošću obima“, ali ne nužno i zahtev za „definitnošću rešenja“. Ovaj poslednji iziskuje stvarno izvršenu i okončanu konstrukciju, dok se onaj prvi zadovoljava ideelnom mogućnošću konstrukcije. „Ako je… P u oblasti prirod­nih brojeva neka smislena osobina“ – tako Vajl precizira razliku između svog i Brauerovog shvatanja – „tako da je po sebi izvesno da, ako je n ma koji prirodni broj, onda odgovara ili ne tom broju n, tada – po Braueru – moramo postaviti pitanje: postoji li ili ne broj sa osobinom P?, kao što i u slučaju dva niza brojeva, i to, iako je pojam prirodnog broja, naspram pojmu niza… ekstenzivno odre­đen.. . Brauer zasniva svoje shvatanje time da nema razloga da se veruje kako se svako takvo postojanje može resiti… Pri svom pokušaju utemeljenja analize ja sam, svesno nasuprot ovome, zastupao mišljenje da nije važno da li smo kadri da izvesrajl pomoćnim sredstvima, na primer načinima zaključivanja formalne logike, resimo neko pitanje, nego kako ta stvar stoji po sebi: niz prirodnih brojeva i pojam egzistencije koji se na njega odnosi pred­stavlja takav temelj matematike da je za neku osobinu P, smisle­nu u oblasti brojeva, uvek po sebi izvesno da li postoje ili ne postoje brojevi vrste P.“  U stvari, mogućnosti i prava na takve „po se%$| važeće iskaze ne možemo se odreći, a da time objektivnu „ideju“ broja ne svedemo na subjektivan akt brojanja, a time i princip idealizma na princip psihologizma. Razume se, sam Vajl još preteruje u potcenjivanju generalnoga i „apstraktnoga“, budući da iskaze opšteg oblika „dato je“ uopšte ne ističe kao sudove u pravom smi­slu nego, u krajnjem slučaju, kao „apstrakte sudova“. Stav „2 je paran broj“ je, po njemu, stvaran sud koji izražava neko stanje stvari, dok je drugi stav, naime stav da je „dat jedan paran broj“, samo apstrakt suda dobijen iz tog suda. Takav se može uporediti s parčetom hartije koje saopštava da postoji neko blago, ali ne odaje mesto na kome se ono nalazi. Prava saznajna vrednost ne može se pripisati takvoj hartiji: jer realnu vrednost, uporedivu sa sredstvi­ma za život u nacionalnoj ekonomiji, ima samo ono što je neposred­no, ono što je prosto-naprosto singularno; sve što je generalno samo posredno učestvuje u tome. Ali – ovako bismo mogli dalje razviti i preokrenuti ovu ovde upotrebljenu sliku – zar odista u „realne“ vrednosti nacionalne ekonomije spada samo ono što je u datom trenutku opipljivo, ono što se predstavlja kao direktno-pos-tojeće i direktno-korisno dobro? Zar i tu nije nužno praviti razliku između onoga što je u ovom smislu realno-dato i onoga što je pod određenim uslovima ostvarivo? Kritika saznanja ne može pokušati da ospori ili poljulja kredit „opštega“, već se mora samo zapitati kako ga valja ispravno utemeljiti. Čak i ako se na to „gene­ralno“ u Vajlovom smislu ne može gledati kao na „zvečeću mone­tu“, nego uvek samo kao na nešto reprezentativno i zastupničko, kao na puku novčanu uputnicu, njegova vrednost se time, ipak, ne umanjuje ukoliko je „realizacija“ zajemčena i obezbeđena. Bar se matematika nigde ne može lišiti takvih čisto reprezentativnih vrednosti, budući da se ona ne može svesti na pojedinačne iskaze redstavlja sistem čisto funkcionalnih određenja. Za važenje svojih opštih stavova ona nikad ne zahteva ispunjenost jednom odre­đenom singularnom sadržinom, nego samo ispunjivost. A istinski univerzalnim osnovnim sudovima matematike obezbeđena je baš ta ispunjivost: oni su konkretno-opšti u tom smislu što omogu­ćavaju da se jednim istim duhovnim pogledom obuhvati jedno sveobuhvatno pravilo i ujedno njegovi beskonačno-mnogostruki slučajevi primene. Pri tom, singularnost slučaja primene ne zasni­va to pravilo nego ga samo opravdava; ono se prikazuje na njoj, ali se njegov značaj ne svodi samo na nju. Utoliko opšti sudovi koji se odnose na egzistencijalna stanja stvari nisu, kako Vajl tvrdi, „pra­zna izmišljotina logičara“. Ako generalne „uputnice sudova“, kako sam on priznaje i ističe, u sebi skrivaju beskonačno obilje stvarnih sudova, čak ako „formulišu opravdani razlog za sve singularne sudove koje iz njih valja izvući“, onda sam opravdani razlog ne može poticati iz pukog ničega, nego mora imati neki „objektivan“ temelj. Međutim, i moderni matematički intuicionizam neretko se izlaže opasnosti koja se toliko puta ispoljila u filozofskom sporu o „problemu univerzalija“. I njegova zasnovana kritika pseudo-opštosti, opštosti „apstraktnog pojma“, preseže i na istinsku opštost, na opštost konstruktivnog principa. A baš zarad uspešnog strogog zasnivanja matematike i „egzaktne nauke“, to dvoje treba strogo razdvajati. Takvo zasnivanje ne može uspeti ako se umanji značaj opštega, ako se ono svede na singularno: može se i srne se zahtevati samo jedno, naime to da se taj značaj prosto ne „apstrahuje“, da se ne pretvara u odvojeno bivstvo, nego da se održi u stalnom dodiru sa posebnim i da se zamišlja kao nešto što se stal­no odnosi na njega.

Taj oblik „konkretno-opštega“ ne sagledava se i ne spoznaje se ni kad se na njega gleda kao na nešto čisto sekundarno i izvedeno što se bilo kako opet mora svesti na stvarnost „stvari“. Pokušaj takvog svođenja karakterističan je ne samo za izvesna empirijska izvođenja pojma broja nego i za jedan određeni pravac u okviru čistog „logicizma“. Empirizam i logicizam se ovde stiču u jednoj zajedničkoj „realističkoj“ pretpostavci: oba veruju da čisto važenje broja mogu obezbeđivati samo utemeljujući ga u nekom prethodno da tom sloju realno postojećega. Empirizam pri tom ide do egzi­stencije konkretno-čulnih skupova: on pokušava da čiste brojne iskaze protumači tako da oni postaju iskazi o neposrednim datosti­ma opažanja ili intuicije. Ako se to shvatanje dosledno dovede do kraja, aritmetika postaje deo fizike. Zato je Mil postupio sasvim dosledno kad je aritmetičke istine tretirao kao nezavisne od mate­rijala iskustva i od „miljea“ iskustva, zaključujući da stav 1 + 1=2 ne mora nužno važiti za stanovnike Sirijusa, koji možda žive u dru­gim empirijskim uslovima. Danas je, posle Fregeove radikalne kritike, takva vrsta „zasnivanja“ aritmetike svuda odbačena. Ali struktura učenja o čistim brojevima, koju su dali Frege i logičari, sledbenici njegovog puta, nije ništa manje daleko – mada u sasvim drugom pravcu — od ideala istinski „autonomne“ aritmetike. I tu poslednja i prava istina broja ne počiva u njemu samom nego u nečem drugom: iskazi o brojevima dobijaju objektivan smisao i objektivno važenje tek zahvajujući tome što se spoznaju kao iskazi o klasama. Postojanje takvih klasa, koje se sada, naravno, više ne uzimaju kao čulne, nego kao čisto pojmovne raznolikosti, pred­stavlja osnovu za sve stavove učenja o čistim brojevima. Dok Mil polazi od sloja empirijskih stvari, Frege polazi od određenih poj­movnih stvari, koje smatra neizbežno-nužnim supstratom carstva čistih brojeva. Po njemu, bez takvog supstrata bi broj, tako reći, izgubio svoje uporište i samo bi lebdeo u praznini. Ali čisto funkcionalni osnovni smisao broja podjednako se ne spoznaje uko­liko se pokušava izvesti bilo iz empirijske „egzistencije“ stvari ili iz logičke „esencije“ pojmova. U oba slučaja broj više ne znači neki prvobitan oblik postavljanja, nego iziskuje nešto prethodno dato i prethodno postavljeno. I za Raselovo izvođenje pojma broja iz poj­ma klase karakterističan je taj realizam. Za njega ono što je prvo nije pojam broja nego pojam jednako brojčanosti, a on se može definisati samo kao svojstvo određenih klasa, naime kao svojstvo nji­hovih elemenata da se uzajamno jednoznačno pridodaju. Tako, na primer, pojam „dva“ ne izražava ništa drugo već određenje koje se neposredno nalazi kod izvesnih grupa stvari – kod stvari koje obično nazivamo „parovima“ – i od njih se može apstrahovati, kao što broj „dvanaest“ označava jedno zajedničko svojstvo svih „tuce­ta“. Značenje tog „dvanaest“ zavisi od bivstva tih „tuceta“: jer broj kao takav može se zamisliti samo kao „klasa klasa“ koje su međusobno povezane relacijom ekvivalencije. I ovde taj odnos sledi za makar koliko logički shvaćenim i logički prečišćenim bivstvom, umesto da se iz njega, iz osnovnog postojanja te relacije, izvodi biv­stvo i njegov poredak i struktura.

Nasuprot svim ovim pokušajima, „intuicionizmu“ pripada za­sluga što je ponovo uspostavio primat relacije i obezbedio mu načelno priznanje. Sad se svesno odbacuje svaki pokušaj da se učenje o čistim brojevima dublje utemelji prikazivanjem tog učenja kao pukog specijalnog slučaja jednog opšteg učenja o skupovima i logičkom „dedukcijom“ niza prirodnih brojeva iz pojma klase i skupa. Umesto takve dedukcije javlja se „potpuna indukcija“. Naravno, ovaj naziv može pobuditi izvesnu sumnju, jer on, naiz gled, matematiku približava empirijskoj nauci, a ne logici, i teži d je utemelji u osnovnom postupku ove nauke. Međutim, „indukcija“ o kojoj je ovde reč strogo je odvojena od postupka „empirijsko uopštavanja“ koji se obično označava ovim terminom. Ona je u sebi sačuvala istorijski-prvobitni smisao te reči: smisao one „vođenja ka nečemu“. To „vođenje ka nečemu“ ne bi bilo dostojno toga naziva, ostalo bi puko pipanje po mraku, da ne raspolaže jed­nom opštom merom za ravnanje. Prema tome, prava matematička indukcija ne traga tek za putem ka opštem nego pokazuje taj put; ona je čak sama taj put. I njen pravi putokaz nije onaj „induktivni zaključak“ koji napreduje od datog mnoštva slučajeva do jedne hipotetičke pretpostavke ili tvrdnje o opštosti slučajeva, nego je takozvani „zaključak iz n na n + 1″. U ovom se zaključku ne zbiraju određenja, nađena i dokazana kod singularnih slučajeva, kod pojedinačnih brojeva, niti se prenose na druge, takođe singularne slučajeve, nego se, tako reći, ide do apsolutnog principa bro­ja: spoznaje se da se ona ista osnovna relacija koja u okviru niza brojeva jedan član povezuje sa drugim što „neposredno za njim sle­di“ nastavlja kroz ceo taj niz i određuje ga u svim njegovim delovima. Utoliko, zapravo, u osnovi principa „potpune indukcije“ leži prava „sinteza a priori“, kako je to neprestano naglašavao naročito Poenkare. I po Vajlu, tom principu nije potrebno dalje zasnivanje niti je on kadar za njega zato što se u njemu predstavlja samo matematička praintuicija, intuicija onog „još uvek jednog“.Nijedan od takozvanih „rekurentnih dokaza“ u matematici nema za cilj ništa drugo osim svođenja jednog određenog matematičkog problema na taj poslednji izvor saznanja, pa time i njegovo vra­ćanje na onu tačku na kojoj se on sigurno može resiti. Ne bilo koji odnosi stvari, nego uvek samo čisti odnosi postavljanja, odnosi koji se svode na funkcije postavljanja jedinstva i postavljanja različnosti, nizanja i pridoda van ja, mogu zasnivati apriornost matema­tičkih sudova i svojstvenu im, specifičnu „evidenciju“. Logistika se pri svom pokušaju da pojam broja izvede iz pojma skupa uvek po­sebno  mnogo čuvala prigovora da svaki takav pokušaj sadrži petitio principu: ukazivala je na to da smisao u kome logika govori o „identitetu“ i „razlici“ nikako ne obuhvata već i ono numeričko jedno i numerički skup i da se, stoga, postiže odlučan napredak saznanja kad uspe svođenje „numeričkog“ smisla na čisto logički smisao. Bez obzira na formalnu ispravnost tog prigovora zbog petito principii, jedno se teško može osporiti: naime, to da dedukci­ja pojma broja iz pojma klase u saznajnokritičkom, u strogo „tran­scendentalnom“ smislu sadrži jedan. Da bi se pojam klase ispunio jednim određenim sadržajem, u njega se uvek moraju unositi već misaone funkcije postavljanja, identiteta, različnosti; dakle, isti oni odnosi koji su potrebni za konstituciju pojmi broja i iz kojih se taj pojam može dobiti neposredno, a ne zaobila­znim putem preko „klase“.

(Ernst Kasirer, 312 – 330 str., Filozofija simboličkih oblika, Dnevnik, Književna zajednica Novog Sada, 1985)

 

Blog na WordPress.com.

Gore ↑